5.1 Обчислення допустимих границь для середньої арифметичної генеральної сукупності

Знаючи середню арифметичну ( ) і помилку (m) вибіркової сукупності‚ можна з певним ступенем довіри і точності визначити ті межі‚ в яких лежить середня генеральна сукупність (Х). Ці межі називають допустимими.

Припустимо‚ що для вивчення середнього постригу шерсті у овець було зроблено 100 вибірок (при n >30) і для кожної із них обчислено + m. Доведено‚ що середні величини окремих вибірок групуються навколо середньої генеральної сукупності ( )‚ підпорядковуючись закону‚ згідно якому вибіркова Х відхиляється від генеральної сукупності:

в 95 % випадків не більше ніж на 1‚96 m

в 99 % випадків не більше ніж на 2‚58 m

в 99‚9 % випадків не більше ніж на 3‚3 m

Наведені вище показники – 95%‚ 99%‚ 99% - називаються допустимимими (р). Їх позначають не у відсотках‚ а в частках одиниці (р = 0‚95; р = 0‚99; р = 0‚999). Вони вказують на ймовірність безпомилкового прогнозу. Коефіцієнти‚ які стоять біля середньої помилки (1‚96; 2‚58; 3‚3)‚ являють собою нормовані відхилення (t)‚ що відповідають наведеним допустимим ймовірностям.

Використовуючи ці показники‚ можна за даними однієї вибірки визначити допустимі границі‚ в межах яких лежить середня генеральна сукупність (Х). Вона знаходиться між – tm (нижня границя) і + tm (верхня границя). Нормоване відхилення (t) залежить від допустимої ймовірності‚ яку вибирають‚ спираючись на вимоги‚ які ставляться до достовірності висновків (табл. 9).

Таблиця 9

Допустимі ймовірності (ймовірності безпомилкового прогнозу), відповідні їм значення та допустимі границі у великих вибірках *

Поріг	Застосування	Допустимі ймовірності	Число помилкових випадків	Нормоване відхилення	Допустимі границі	Мінім. обсяг вибірки
1	У виробничих та науково-господарських дослідженнях	0,95 (95 %)	5 з 100	1,96	±1,96	30
2	У більшості біологічних, зоотехнічних, ветеринарних досліджень	0,99 (99 %)	1 з 100	2,58	±2,58	100
3	В роботах з дуже високими вимогами до достовірності висновків	0,999 (99,9 %)	1 з 1000	3,3	±3,3	1000

*- Для малих вибірок стандартні значення (показник надійності) визначається за таблицями Стьюдента (див. додатки, табл. 1)

Нижній рівень достовірності- 95%

р_{(ймовірність)} = 0‚95 або 95%

В_{(значимість)} = 0‚05 або 5%

Розбір вирішення задач.

Середній постриг шерсті у вибірці мериносових овець ( ± m) склав 4‚0 ± 0‚2 кг. Встановити довірні границі для середнього постригу шерсті в генеральній сукупності мериносів.

Візьмемо в якості довірної ймовірності р = 0‚95. Згідно даних таблиці 9‚ при такій ймовірності нормоване відхилення t = 1‚96. Визначаючи довірні границі для Х генеральної сукупності мериносів‚ одержимо: – 1‚96m = 4‚0 – 1‚96• 0‚2 = 3‚61 кг (нижня границя ) і + 1‚96m = 4‚0 + 1‚96• 0‚2 = 4‚39 кг (верхня границя ). Це показує‚ що генеральна середня (тобто середній постриг шерсті всього поголів’я мериносів) знаходиться в інтервалі між 3‚61 та 4‚39 кг. Ймовірність того що дане твердження вірне‚ складає 95 %‚ а ризик помилки –5%.

Якщо вважати‚ що 5 %-ний ризик помилки надто високий‚ то в якості допустимого можна взяти 1 %-ний ризик помилки‚ а відповідно‚ 99 %-ну ймовірність достовірності твердження. При р = 0‚99; t = 2‚58.

Розраховуючи в такому випадку довірні границі для Х генеральної сукупності за формулою ± 2,58 m, одержимо:

нижня границя : 4,0 – 0,52 = 3,48;

верхня границя : 4,0 + 0,52 =4,52.

Іншими словами, можна стверджувати, що генеральна середня знаходиться в межах 3,48 – 4,52. Точність другого ствердження у порівнянні з попереднім зменшилась, так як границі розширились, але зменшився ризик помилки з 5 %- ного до 1 %-ного рівня.

У випадках, які вимагають високої достовірності, використовують у значенні довірної ймовірності значення р,що дорівнює 0,999. При цьому ризик помилки знижується до одного випадку з 1000, але довірний інтервал стає дедалі ширшим.