§6. Аксиоматическое определение вероятности

Пусть Ω - пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (то есть, вообще говоря, множество произвольной природы). Определим набор подмножеств Ω, которые будут называться событиями, и зададим вероятность как функцию, определенную только на множестве событий.

Событиями будем называть не любые подмножества Ω, а лишь подмножества из некоторого «множества подмножеств» . При этом необходимо, чтобы это множество подмножеств Ω было «замкнуто» относительно операций над событиями, то есть чтобы объединение, пересечение, дополнение событий (то есть элементов ) снова давало событие (то есть элемент ).

Определение. Множество , состоящее из подмножеств множества Ω (не обязательно всех) называется -алгеброй событий, или -алгеброй подмножеств Ω, если выполнены следующие условия:

l) Ω ( -алгебра событий содержит достоверное событие);

2) если А , то (вместе с любым событием -алгебра содержит противоположное событие);

3) если А₁,А₂,..., , то (вместе с любым конечным или счетным набором событий -алгебра содержит их объединение).

Эти условия часто называют «аксиомами -алгебры».

Пример. Пусть Ω={1,2,3,4,5,6} - пространство элементарных исходов (например, при бросании игрального кубика). Следующие наборы подмножеств Ω являются -алгебрами:

1. ={Ω,Ø}={{1,2,3,4,5,6},Ø} - тривиальная -алгебра.

2. ={Ω,Ø,{1}, }={{1,2,3,4,5,6},Ø,{1},{2,3,4,5,6}}.

3. ={Ω,Ø,A, }={{1,2,3,4,5,6},Ø,A, }, где А - произвольное подмножество Ω (в предыдущем примере А={1}).

3. - множество всех подмножеств Ω. Если Ω состоит из п элементов, то в множестве всех его подмножеств ровно 2ⁿ элементов.

Итак, мы определили специальный класс подмножеств пространства элементарных исходов Ω, названный -алгеброй событий, причем применение счетного числа любых операций (таких, как объединение, пересечение, дополнение) к множествам из снова дает множество из (не выводит за рамки этого класса). Множества А мы назвали «событиями».

Определение. Пусть Ω – пространство элементарных исходов и – -алгебра его подмножеств (событий). Вероятностью или вероятностной мерой на (Ω, ) называется функция Р: →R, обладающая свойствами:

1) Для любого события А выполняется неравенство Р(А)≥0;

2) Для любого счетного набора попарно несовместных событий A₁,A₂,... имеет место равенство Р = ;

3) Вероятность достоверного события равна единице: Р(Ω)=1.

Эти свойства называют «аксиомами вероятности».

То есть вероятность это неотрицательная нормированная мера (функция множества), заданная на -алгебре подмножеств Ω, которая каждому событию ставит в соответствие число.

Определение. Тройка (Ω, ,Р) в которой Ω - пространство элементарных исходов, - -алгебра его подмножеств и Р - вероятностная мера на , называется вероятностным пространством.

Вероятностное пространство является математической моделью случайного эксперимента.

Сформулируем свойства вероятности, вытекающие из аксиом.

1. P(Ø)=0.

Доказательство. События А_i=Ø, i=1,2,..., попарно несовместны, и их объединение есть также пустое множество. По аксиоме 2), Р(Ø)= = . Это возможно только в случае Р(Ø)=0.

2. Для любого конечного набора попарно несовместных событий А₁,... , А_п имеет место равенство

Р = .

Доказательство. Пусть А_i=Ø при любом i>п. Вероятности этих событий, по предыдущему свойству, равны нулю. События А₁,...,А_п,Ø,Ø,Ø,Ø,... попарно несовместны, и, по аксиоме 2),

Р =Р = = .

3. P( )=1-P(A).

Доказательство. A =Ω, и события A, несовместны. По аксиоме 3) и предыдущему свойству, 1=Р(Ω)=Р(А)+Р( ).

4. Если A B, то P(B\A)=P(B)-P(A).

Доказательство. В=А (В\А), и события А, В\А несовместны. По аксиоме 2), Р(В)=Р(А)+Р(B\A).

5. Если A B, то P(A)≤P(B).

Доказательство. По предыдущему свойству, Р(А)=Р(В)-Р(В\А)≤Р(В). Последнее неравенство следует из 1), т.к. Р(В\А)≥0.

6. 0≤P(A)≤1.

Доказательство. Р(А)≥0 по 1), и так как А Ω, то по предыдущему свойству P(A)≤Р(Ω)=1.

7. P(A B)=P(A)+Р(В)-Р(А В).

Доказательство. А В В, поэтому Р(В\(А В))=Р(В)-Р(А В). Но события А и В\(А В) несовместны, поэтому

P(A B)=Р(А В\(А В))=Р(А)+Р(В\(А В))=Р(А)+Р(В)-Р(А В).

Естественное обобщение этого свойства:

P(A₁ А₂ ... A_n)= - + -…+

+(-1)^n-1P(A₁ A₂ … A_n).

доказывается с помощью математической индукции.