Раздел 1. Теория вероятностей

§1. Предмет теории вероятностей

Все окружающие нас события и явления можно разделить на два класса. К первому классу будут относиться закономерные явления, а ко второму случайные. Закономерными считаются явления, которые всегда происходят при некоторых неизменных условиях. Примером закономерного явления является закипание воды нагретой до ста градусов по Цельсию при нормальных условиях. Случайными будут явления, которые могут происходить, а могут не происходить при неизменных условиях. Например, выпадение орла при бросании монеты, является случайным событием.

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

Элементы неопределенности, присущие случайным явлениям, требуют создания специальных методов для изучения этих явлений.

Такие методы и разрабатываются в теории вероятностей. Предметом теории вероятностей являются специфические закономерности, наблюдаемые в массовых случайных явлениях.

Практика показывает, что при наблюдении в совокупности массы однородных случайных явлений, в них обнаруживаются вполне определенные закономерности, устойчивость, свойственная массовым случайным явлениям. Например, если много раз подряд бросать монету, частота появления «орла» постепенно стабилизируется, приближаясь к 0,5. Результаты нескольких подобных опытов приведены в таблице.

Число бросаний	Число появлений «орла»	Относительная частота
4 040	2 048	0,5069
12 000	6 019	0,5016
24 000	12 012	0,5005

Здесь относительные частоты незначительно отклоняются от числа 0,5, причем тем меньше, чем больше число испытаний. Приняв во внимание, что вероятность появления «орла» при бросании монеты равна 0,5, убеждаемся, что относительная частота колеблется около вероятности (определение вероятности будет дано позже).

Такое же свойство «устойчивости частот» обнаруживается и при многократном повторении любого другого опыта, исход которого представляется заранее не определенным, случайным. Так по данным шведской статистики относительная частота рождения девочек за 1935 г. по месяцам характеризуется следующими числами (числа расположены в порядке следования месяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Относительная частота колеблется около числа 0,482, которое можно принять за приближенное значение вероятности рождения девочек. Заметим, что статистические данные различных стран дают примерно то же значение относительной частоты.

§2. Случайные события. Операции над событиями

Рассмотрим основные понятия теории вероятностей

Определение. Пространством элементарных исходов Ω («омега») называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой ω («омега») с индексами или без.

Определение. Событиями называются подмножества множества Ω. Говорят, что в результате эксперимента произошло событие А Ω, если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество А.

Вообще говоря, можно назвать событиями не обязательно все подмножества множества Ω, а лишь множества из некоторого набора подмножеств.

Пример. Один раз подбрасывается одна игральная кость (кубик). Самый разумный способ задать пространство элементарных исходов таков: Ω={1,2,3,4,5,6}, элементарные исходы здесь соответствуют числу выпавших очков.

Примеры событий: А={1,2} — выпало одно или два очка; А={1,3,5} - выпало нечетное число очков.

Пример. Два раза подбрасывается одна игральная кость (кубик). Или, что то же самое, один раз подбрасываются две игральные кости. Здесь самый разумный способ задать пространство элементарных исходов - считать результатом эксперимента упорядоченную пару чисел (i,j), в которой 1≤i,j≤6 и i(j) есть число очков, выпавших при первом (втором) подбрасывании: Ω={(i,j), где 1≤i,j≤6}.

Событиями будут:

А={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)} - при первом подбрасывании выпало одно очко;

B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} - при двух подбрасываниях выпало одинаковое число очков.

Пример. На поверхность стола бросается монета. Результатом эксперимента можно считать координату центра монеты (а если нам не безразличен угол поворота монеты, то можно добавить и величину этого угла). Пространство элементарных исходов - множество точек стола (во втором случае - множество пар {(x,φ)}, где х R² - точка стола и φ [0,2π) — угол поворота). Число элементарных исходов такого эксперимента несчетно.

Пример. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет вверх гербом. Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного, но счетного числа исходов: Ω={г, рг, ррг, рррг, ррррг, рррррг, ...}, где риг обозначают выпадение решки и герба при одном подбрасывании, соответственно.

Определение. Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, то есть единственное событие, включающее все без исключения элементарные исходы — событие Ω.

Определение. Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента, то есть событие, не содержащее ни одного элементарного исхода («пустое множество») . Заметим, что всегда Ω.

Пусть А и В случайные события.

Определение. Объединением А В (суммой A+B) событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло либо А, либо В, либо оба события одновременно. На языке теории множеств А В есть множество, содержащее как элементарные исходы, входящие в А, так и элементарные исходы, входящие в В.

Определение. Пересечением А В (произведением AB) событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошли оба события А и В одновременно. То есть А В есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие одновременно в А и в В.

Определение. Дополнением А\В (разностью A-B) события В до А называется событие, состоящее в том, что произошло событие А, но не произошло В. То есть А\В есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие в А, но не входящие в В.

Определение. Противоположным (или дополнительным) к событию А называется событие =Ω\А, состоящее в том, что событие А в результате эксперимента не произошло. Иначе говоря, есть множество, содержащее элементарные исходы, не входящие в А.

Определение. События А и В называются несовместными, если А В= .

Определение. События A₁,...,А_п называются попарно несовместными, если для любых i≠j, 1≤i,j≤n, события A_i и A_j несовместны.

Определение. Говорят, что событие А влечет событие В, и пишут А В, если всегда, как только происходит событие А, происходит и событие В. На языке теории множеств это означает, что любой элементарный исход, входящий в А, одновременно входит и в событие В.