Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Еще оди вариант тервера .doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
04.05.2019
Размер:
2.75 Mб
Скачать

§18. Функция распределения двумерной случайной величины

Рассмотрим двумерную случайную величину (ξ,η) (безразлично, дискретную или непрерывную).

Пусть х,у - пара действительных чисел. Вероятность события, состоящего в том, что ξ примет значение, меньшее х, и при этом η примет значение, меньшее у, обозначим через F(х,у). Если х и у будут изменяться, то, вообще говоря, будет изменяться и F(х,у), т.е. F(х,у) есть функция от х и у.

Определение. Функцией распределения двумерной случайной величины (ξ,η) называют функцию F(х,у), определяющую для каждой пары чисел х, у вероятность того, что ξ примет значение, меньшее х, и при этом η примет значение, меньшее у:

F(х,у)=P(ξ<x,η<y).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х,у) есть вероятность того, что случайная точка (ξ,η) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (х,y), расположенный левее и ниже этой вершины.

Пример. Найти вероятность того, что в результате испытания составляющая ξ двумерной случайной величины (ξ,η) примет значение ξ<2 и при этом составляющая η примет значение η<3, если известна функция распределения системы

F(х,у)= · .

Решение. По определению функции распределения двумерной случайной величины,

F(х,у)=P(ξ<x,η<y).

Положив x=2,y=3, получим искомую вероятность

Р(ξ<2,η<3)=F(2,3)= · =

= · = · = .

Свойства функции распределения двумерной случайной величины.

Свойство 1. Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству

0≤F(х,у)≤1.

Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность - всегда неотрицательное число, не превышающее единицу.

Свойство 2. F(х,у) есть неубывающая функция по каждому аргументу, т.е.

F(х2,у)≥F(х1,у), если х2х1;

F(х,у2)≥F(х,у1), если у2у1.

Доказательство. Докажем, что F(х,у) - неубывающая функция по аргументу х. Событие, состоящее в том, что составляющая ξ примет значение, меньшее х2, и при этом составляющая η<y, можно подразделить на следующие два несовместных события:

1) ξ примет значение, меньшее х1, и при этом η<y с вероятностью P(ξ<x1,η<y);

2) ξ примет значение, удовлетворяющее неравенству х1ξ<х2, и при этом η<y с вероятностью P(х1ξ<х2,η<y).

По теореме сложения,

P(ξ<x2,η<y)=P(ξ<x1,η<y)+P(х1ξ<х2,η<y).

Отсюда

P(ξ<x2,η<y)-P(ξ<x1,η<y)=P(х1ξ<х2,η<y).

или

F(х2,у)-F(х1,у)=P(х1ξ<х2,η<y).

Любая вероятность есть число неотрицательное, поэтому

F(х2,у)-F(х1,у)≥0, или F(х2,у)≥F(х1,у),

что и требовалось доказать.

Свойство становится наглядно ясным, если воспользоваться геометрическим истолкованием функции распределения как вероятности попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной (х;у) (см. рис.12.). При возрастании х правая граница этого квадранта сдвигается вправо; при этом вероятность попадания случайной точки в «новый» квадрант, очевидно, не может уменьшиться.

Аналогично доказывается, что F(х,у) есть неубывающая функция по аргументу у.

Свойство 3. Имеют место предельные соотношения:

1) F(-∞,y)=0,

2) F(x,-∞)=0,

3) F(-∞,-∞)=0,

4) F(∞,∞)=1.

Доказательство. 1) F(-∞,y) есть вероятность события ξ<-∞ и η<y но такое событие невозможно (поскольку невозможно событие ξ<-∞), следовательно, вероятность этого события равна нулю.

Свойство становится наглядно ясным, если прибегнуть к геометрической интерпретации: при х→-∞ правая граница бесконечного квадранта (см. рис.12) неограниченно сдвигается влево и при этом вероятность попадания случайной точки в квадрант стремится к нулю.

2) Событие η<-∞ невозможно, поэтому F(x,-∞)=0.

3) Событие ξ<-∞ и η<-∞ невозможно, поэтому F(-∞,-∞)=0.

4) Событие ξ<∞ и η<∞ достоверно, следовательно, вероятность этого события F(∞,∞)=1.

Свойство становится наглядно ясным, если принять во внимание, что при х→∞ и у→∞ бесконечный квадрант (см. рис. 12) превращается во всю плоскость XOY и, следовательно, попадание случайной точки (ξ;η) в эту плоскость есть достоверное событие.

Свойство 4. а) При у= функция распределения системы становится функцией распределения составляющей ξ:

F(x,∞)=F1(x).

б) При х=∞ функция распределения системы становится функцией распределения составляющей η:

F(∞,y)=F2(y).

Доказательство. а) Так как событие η<∞ достоверно, то F(x,∞) определяет вероятность события ξ<х, т.е. представляет собой функцию распределения составляющей ξ.

б) Доказывается аналогично.

Вероятность попадания случайной точки в полуполосу.

Используя функцию распределения системы случайных величин ξ и η, легко найти вероятность того, что в результате испытания случайная точка попадает в полу полосу х1<ξ<х2,η<y (рис.13а) или в полуполосу ξ<х и y1<η<y2 (рис.13б).

Вычитая из вероятности попадания случайной точки в квадрант с вершиной (х2;y) вероятность попадания точки в квадрант с вершиной (х1;y) (рис.13а), получим

Р(х1ξ<х2,η<y)=F(х2,y)-F(х1,y).

Аналогично имеем Р(ξ<х,y1η<y2)=F(х,y2)-F(х,y1).

Таким образом, вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов.

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник.

Рассмотрим прямоугольник ABCD со сторонами, параллельными координатным осям. Пусть уравнения сторон таковы:

ξ=x1,ξ=x2,η=y1 и η=y2.

Найдем вероятность попадания случайной точки (ξ;η) в этот прямоугольник. Искомую вероятность можно найти, например, так из вероятности попадания случайной точки в полу полосу АВ с вертикальной штриховкой (эта вероятность равна F(х2,y2)-F(х1,y2)) вычесть вероятность попадания точки в полуполосу CD с горизонтальной штриховкой (эта вероятность равна F(х2,y1)-F(х1,y1)):

Р(х1ξ<х2,y1η<y2)=[F(х2,y2)-F(х1,y2)]–[F(х2,y1)-F(х1,y1)].

Пример. Найти вероятность попадания случайной точки (ξ;η) в прямоугольник, ограниченный прямыми х=π/6,х=π/2,у=π/4,у=π/3, если известна функция распределения

F(x,y)=sinx siny (0≤xπ/2, 0≤yπ/2).

Решение. Положив х1=π/6, х2=π/2, у1=π/4, у2=π/3, получим

Р(π/6<ξ<π/2, π/4<η<π/3)=[F(π/2,π/3)-F(π/6,π/3)]-[F(π/2,π/4)-F(π/6, π/4)]=

=[sin(π/2) sin(π/3)-sin(π/6) sin(π/3)]-[sin(π/2) sin(π/4)-sin(π/6) sin(π/4)]=

=[ /2- /4]-[ /2- /4]=( - )/4=0,08.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.