Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Еще оди вариант тервера .doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
04.05.2019
Размер:
2.75 Mб
Скачать

§13. Примеры дискретных случайных величин

Биномиальное распределение.

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность непоявления q=1-р). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины ξ число появлений события А в этих испытаниях.

Найдем закон распределения величины ξ. Для этого требуется определить возможные значения ξ и их вероятности. Очевидно, событие А в п испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо п раз. Таким образом, возможные значения ξ таковы: x1=0,x2=1,x3=2,...,xn+1=п. Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:

Pn(k)=С pkqn-k ,

где k=0,1,2,...,п.

Эта формула является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Определение. Случайная величина имеет Биномиальное распределение если ее распределение вероятностей задается формулой

P(ξ=k)=С pkqn-k, k=0,1,2,...,п.

Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть формулы можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

(p+q)n=С pn+С pn-1q+…+С pkqn-k+…+С qn.

Таким образом, первый член разложения рп определяет вероятность наступления рассматриваемого события п раз в п независимых испытаниях; второй член npn-1q определяет вероятность наступления события п-1 раз; ...; последний член qn определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Напишем биномиальный закон в виде таблицы:

ξ

п

п-1

...

k

...

0

Р

рп

npn-1q

С pkqn-k

qn

Пример. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины ξ - числа выпадений «герба».

Решение. Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты р=1/2, следовательно, вероятность непоявления «герба» q=1-1/2=1/2.

При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения ξ таковы: x1=2,x2=1,x3=0. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

P2(2)=С p2=(1/2)2=0,25,

P2(1)=С pq=2·(1/2) (1/2) =0,5,

P2(0)=С q2=(1/2)2=0,25.

Напишем искомый закон распределения:

ξ

2

1

0

р

0,25

0,5

0,25

Контроль: 0,25 + 0,5 + 0,25=1.

Распределение Пуассона.

Определение. Случайная величина имеет распределение Пуассона если ее распределение вероятностей задается формулой

P(ξ=k)= , k=0,1,2,...

Эта формула выражает закон распределения Пуассона для вероятностей редких событий. Она используется для приблизительных вычислений в схеме Бернулли, когда n велико, р мало

Имеются специальные таблицы, пользуясь которыми можно найти эти вероятности, зная k и .

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. По условию, п=5000, р=0,0002, k=3. Найдем :

=nр=5000·0,0002=1.

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна

Р5000(3)= =e-1/3!=1/6e ≈ 0,06.

Геометрическое распределение.

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р (0<р<1) и, следовательно, вероятность его непоявления q=1-р. Испытания заканчиваются, как только появится событие A. Таким образом, если событие А появилось в k-м испытании, то в предшествующих k-1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через ξ дискретную случайную величину - число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями ξ являются натуральные числа: x1=1,x2=2,...

Пусть в первых k-1 испытаниях событие А не наступило, а в k-м испытании появилось. Вероятность этого «сложного события», по теореме умножения вероятностей независимых событий,

P(ξ=k)=qk-1p.

Полагая k=1,2,... получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q (0<q<1):

p, qp, q2p, …, qk-1p, …

По этой причине распределение называют геометрическим.

Легко убедиться, что ряд сходится и сумма его равна единице. Действительно, сумма ряда будет равна

p/(1–q)=p/p=1.

Определение. Случайная величина имеет геометрическое распределение если ее распределение вероятностей задается формулой

P(ξ=k)=qk-1p, k=1,2, ...

Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р=0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. По условию, р=0,6,q=0,4,k=3. Искомая вероятность

Р=qk-1 р=0,42·0,6=0,096.

Гипергеометрическое распределение.

Рассмотрим задачу. Пусть в партии из N изделий имеется М стандартных (М<N). Из партии случайно отбирают п изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию (поэтому формула Бернулли здесь неприменима). Обозначим через ξ случайную величину - число т стандартных изделий среди п отобранных. Очевидно, возможные значения ξ таковы: 0,1,2,...,min(M, п).

Найдем вероятность того, что ξ=т, то есть что среди п отобранных изделий ровно т стандартных. Используем для этого классическое определение вероятности.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь п изделий из N изделий, то есть числу сочетаний С .

Найдем число исходов, благоприятствующих событию ξ(среди взятых п изделий ровно т стандартных); т стандартных изделий можно извлечь из М стандартных изделий С способами; при этом остальные п-т изделий должны быть нестандартными; взять же п-т нестандартных изделий из N-т нестандартных изделий можно C способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно С C по правилу умножения.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию ξ, к числу всех элементарных исходов

P(ξ=m)= .

Определение. Случайная величина имеет гипергеометрическое распределение, если ее распределение вероятностей задается формулой

P(ξ=m)= .

Учитывая, что т – значение случайной величины, заключаем, что гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами: N,М,п. Иногда в качестве параметров этого распределения рассматривают N,n и p=M/N, где р - вероятность того, что первое извлеченное изделие стандартное.

Заметим, что если п значительно меньше N (практически если п<0,1N), то гипергеометрическое распределение дает вероятности, близкие к вероятностям, найденным по биномиальному закону.

Пример. Среди 50 изделий 20 окрашенных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 5 изделий окажется ровно 3 окрашенных.

Решение. По условию, N=50,М=20,n=5,m=3. Искомая вероятность

P(ξ=3)=С С =0,234.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.