Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Еще оди вариант тервера .doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
04.05.2019
Размер:
2.75 Mб
Скачать

§20. Условные распределения

Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин.

Если события А и В зависимы, то условная вероятность события В отличается от его безусловной вероятности. В этом случае

РА(В)(АВ)/Р(А).

Аналогичное положение имеет место и для случайных величин. Для того чтобы охарактеризовать зависимость между составляющими двумерной случайной величины, введем понятие условного распределения.

Рассмотрим дискретную двумерную случайную величину (ξ,η). Пусть возможные значения составляющих таковы: х12,...,хп;у1,у2,...,ут.

Допустим, что в результате испытания величина η приняла значение η=у1; при этом ξ примет одно из своих возможных значений: x1, или х2,..., или хп. Обозначим условную вероятность того, что ξ примет, например, значение х1 при условии, что η=у1 через р(х1|y1). Эта вероятность, вообще говоря, не будет равна безусловной вероятности р(х1).

В общем случае условные вероятности составляющей будем обозначать так:

р(хi|yj) (i=l,2,...,n; j=1,2,...,m).

Определение. Условным распределением составляющей ξ при η=уj называют совокупность условных вероятностей р(х1|yj),р(х2|yj),...,р(хn|yj), вычисленных в предположении, что событие η=уj (j имеет одно и то же значение при всех значениях ξ) уже наступило. Аналогично определяется условное распределение составляющей η.

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно вычислить условные законы распределения составляющих. Например, условный закон распределения ξ в предположении, что событие η=у1 уже произошло, может быть найден по формуле

р(хi|y1)= (i=l,2,...,n).

В общем случае условные законы распределения составляющей ξ определяются соотношением

р(хi|yj)=р(хi,yj)/p(yj).

Аналогично находят условные законы распределения составляющей η:

р(yj|xi)=р(хi,yj)/p(xi).

Замечание. Сумма вероятностей условного распределения равна единице. Действительно, так как при фиксированном уj имеем

=p(yj), то

= /p(yj)=p(yj)/p(yj)=1.

Аналогично доказывается, что при фиксированном хi

=1.

Это свойство условных распределений используют для контроля вычислений.

Пример. Дискретная двумерная случайная величина задана таблицей.

ξ/η

x1

x2

x3

y1

0,10

0,30

0,20

y2

0,06

0,18

0,16

Найти условный закон распределения составляющей ξ при условии, что составляющая η приняла значение у1.

Решение. Искомый закон определяется совокупностью следующих условных вероятностей:

р(х1|y1),р(х2|y1),р(х3|y1).

Приняв во внимание, что p(y1)=0,10+0,30+0,20=0,60, имеем:

р(х1|y1)=р(х1,y1)/p(y1)=0,10/0,60=1/6;

р(х2|y1)=р(х2,y1)/p(y1)=0,30/0,60=1/2;

р(х3|y1)=р(х3,y1)/p(y1)=0,20/0,60=1/3.

Сложив для контроля найденные условные вероятности, убедимся, что их сумма равна единице, как и должно быть: 1/6+1/2+1/3=1.

Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин.

Пусть (ξ,η) - непрерывная двумерная случайная величина.

Определение. Условной плотностью φ(х|y) распределения составляющих ξ при данном значении η=y называют отношение плотности совместного распределения f(х,у) системы (ξ,η) к плотности распределения f2(y) составляющей η:

φ(х|y)=f(х,у)/f2(y).

Отличие условной плотности φ(х|y) от безусловной плотности f1(x) состоит в том, что функция φ(х|y) дает распределение ξ при условии, что составляющая η приняла значение η=y; функция же f1(x) дает распределение ξ независимо от того, какие из возможных значений приняла составляющая η.

Аналогично определяется условная плотность составляющей η при данном значении ξ=х:

ψ(y|x)=f(x,y)/f1(x).

Если известна плотность совместного распределения f(x,у), то условные плотности составляющих могут быть найдены по формулам:

φ(х|y)=f(х,у)/ dx,

ψ(y|x)=f(x,y)/ dy.

Запишем представленные соотношения в виде:

f(х,у)=f2(y)φ(х|y),f(х,у)=f1(x)ψ(х|y).

Отсюда заключаем: умножая закон распределения одной из составляющих на условный закон распределения другой составляющей, найдем закон распределения системы случайных величин.

Как и любая плотность распределения, условные плотности обладают следующими свойствами:

φ(х|y)≥0, dx=1;

ψ(y|x)≥0, dy=1.

Пример. Двумерная случайная величина (ξ,η) задана плотностью совместного распределения

f(x,у)=

Найти условные законы распределения вероятностей составляющих.

Решение. Найдем условную плотность составляющей ξ при |x|< :

φ(х|y)= = .

Так как f(x,у)=0 при х2+y2>r2, то φ(х|y)=0 при |x|> .

Аналогично найдем условную плотность составляющей

ψ(y|x)=

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.