§17. Многомерные случайные величины

Определение. Случайные величины, возможные значения которых определяются одним числом, называют одномерными.

Например, число очков, которое может выпасть при бросании игральной кости, - дискретная одномерная величина; расстояние от орудия до места падения снаряда - непрерывная одномерная случайная величина.

Кроме одномерных случайных величин изучают величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя, ..., n числами. Такие величины называются соответственно двумерными, трехмерными, ..., п-мерными.

Будем обозначать через (ξ,η) двумерную случайную величину. Каждую из величин ξ и η называют составляющей (компонентой); обе величины ξ и η, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Аналогично n-мерную величину можно рассматривать как систему п случайных величин. Например, трехмерная величина (ξ,η,θ) определяет систему трех случайных величии ξ, η и θ.

Пример. Станок-автомат штампует стальные плитки. Если контролируемыми размерами являются длина ξ и ширина η, то имеем двумерную случайную величину (ξ,η); если же контролируется и высота θ, то имеем трехмерную величину (ξ,η,θ).

Двумерную случайную величину (ξ,η) геометрически можно истолковать либо как случайную точку М(ξ,η) на плоскости (т.е. как точку со случайными координатами), либо как случайный вектор . Трехмерную случайную величину геометрически можно истолковать как точку М(ξ,η,θ) в трехмерном пространстве или как вектор .

Целесообразно различать дискретные (составляющие этих величин дискретны) и непрерывные (составляющие этих величин непрерывны) многомерные случайные величины.

Определение. Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел (x_i,y_j) и их вероятностей p_ij (i=l,2,...,п; j=1,2,...,т). Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом.

ξ / η	x1	x2	…	xi	…	xn
y1	p11	p21	…	pi1	…	pn1
…	…	…	…	…	…	…
yj	p1j	p2j	…	pij	…	pnj
…	…	…	…	…	…	…
ym	p1m	p2m	…	pim	…	pnm

Первая строка таблицы содержит все возможные значения составляющей ξ, а первый столбец - все возможные значения составляющей η. В клетке, стоящей на пересечении «столбца x_i» и «строки у_j», указана вероятность p_ij того, что двумерная случайная величина примет значение (x_i,y_j).

Так как события (ξ=x_i,η=y_j) (i=1,2,...,n; j=1,2,...,т) образуют полную группу, то сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таблицы, равна единице.

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Действительно, например, события (ξ=x₁;η=y₁),(ξ=x₁;η=y₂),...,(ξ=x₁;η=y_m) несовместны, поэтому вероятность Р(х₁) того, что ξ примет значение х₁, по теореме сложения такова:

P(x₁)=p₁₁+p₁₂+...+р_1m .

Таким образом, вероятность того, что ξ примет значение х₁, равна сумме вероятностей «столбца x₁». В общем случае, для того чтобы найти вероятность Р(ξ=x_i), надо просуммировать вероятности столбца x_i. Аналогично сложив вероятности «строки y_j», получим вероятность Р(η=y_j).

Пример. Найти законы распределения составляющих двумерной случайной величины, заданной законом распределения

ξ / η	x1	x2	x3
y1	0,10	0,30	0,20
y2	0,06	0,18	0,16

Решение. Сложив вероятности по столбцам, получим вероятности возможных значений ξ: Р(х₁)=0,16;Р(х₂)=0,48;Р(х₃)=0,36. Напишем закон распределения составляющей ξ:

ξ	x1	x2	x3
P	0,16	0,48	0,36

Контроль: 0,16+0,48+0,36=1.

Сложив вероятности по строкам, получим вероятности возможных значений η: Р(у₁)=0,60;Р(у₂)=0,40. Напишем закон распределения составляющей η:

η	у1	у2
P	0,60	0,40

Контроль: 0,60+0,40=1.