Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Еще оди вариант тервера .doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
04.05.2019
Размер:
2.75 Mб
Скачать

§23. Дисперсия дискретной случайной величины

Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения. Рассмотрим, например, дискретные случайные величины ξ и η, заданные следующими законами распределения:

ξ

-0,01

0,01

η

-100

100

P

0,5

0,5

P

0,5

0,5

Найдем математические ожидания этих величин:

М(ξ)=-0,01·0,5+0,01·0,5=0,

М(η)=-100·0,5+100·0,5=0.

Здесь математические ожидания обеих величин одинаковы, а возможные значения различны, причем ξ имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, a η - далекие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует.

По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

Введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Пусть ξ - случайная величина и М(ξ) - ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность ξ-М(ξ).

Определение. Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием. Пусть закон распределения ξ известен:

ξ

x1

x2

xn

P

p1

p2

pn

Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение x1-М(ξ), достаточно, чтобы случайная величина приняла значение x1. Вероятность же этого события равна р2, следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение x1-М(ξ), также равна р2. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения.

Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения:

ξ(ξ)

x1(ξ)

x2(ξ)

xn(ξ)

P

p1

p2

pn

Приведем важное свойство отклонения.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

М[ξ-М(ξ)]=0.

Доказательство. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание разности равно разности математических ожиданий, математическое ожидание постоянной равно самой постоянной) и приняв во внимание, что М(ξ) - постоянная величина, имеем М[ξ-М(ξ)]=М(ξ)-М[М(ξ)]=М(ξ)-М(ξ)=0.

Пример. Задан закон распределения дискретной случайной величины ξ:

ξ

1

2

P

0,2

0,8

Убедиться, что математическое ожидание отклонения равно нулю.

Решение. Найдем математическое ожидание ξ:

М(ξ)=1·0,2+2·0,8=1,8.

Найдем возможные значения отклонения, для чего из возможных значений ξ вычтем математическое ожидание М(ξ): 1-1,8=-0,8; 2-1,8= 0,2.

Напишем закон распределения отклонения:

ξ-М(ξ)

-0,8

0,2

P

0,2

0,8

Найдем математическое ожидание отклонения:

М[ξ-М(ξ)]=(-0,8)·0,2+0,2·0,8=0.

Итак, математическое ожидание отклонения равно нулю, как и должно быть.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

Определение. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D(ξ)=M[ξ-M(ξ)]2.

Пусть случайная величина задана законом распределения

ξ

x1

x2

xn

P

p1

p2

pn

Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон распределения:

[ξ(ξ)]2

[x1(ξ)]2

[x2(ξ)]2

[xn(ξ)]2

P

p1

p2

pn

По определению дисперсии,

D(ξ)=M[ξ-M(ξ)]2=[x1-M(ξ)]2p1+[x2-M(ξ)]2p2+…+[xn-M(ξ)]2pn .

Таким образом, для того чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Пример. Найти дисперсию случайной величины ξ, которая задана следующим законом распределения:

ξ

1

2

5

P

0,3

0,5

0,2

Решение. Найдем математическое ожидание:

М(ξ)=1·0,3+2·0,5+5·0,2=2,3.

Найдем все возможные значения квадрата отклонения:

[x1-M(ξ)]2=(1-2,3)2=1,69;

[x2-M(ξ)]2=(2-2,3)2=0,09;

[x3-M(ξ)]2=(5-2,3)2=7,29.

Напишем закон распределения квадрата отклонения:

[ξ-М(ξ)]2

1,69

0,09

7,29

P

0,3

0,5

0,2

По определению, D(ξ)=1,69·0,3+0,09·0,5+7,29·0,2=2,01.

Формула для вычисления дисперсии.

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины ξ и квадратом ее математического ожидания:

D(ξ)=M(ξ2)–[M(ξ)]2.

Доказательство. Математическое ожидание М(ξ) есть постоянная величина, следовательно, (ξ) и М2(ξ) есть также постоянные величины. Приняв это во внимание и пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), упростим формулу, выражающую определение дисперсии:

D(ξ)=М[ξ-М(ξ)]2=М[ξ 2-2ξМ(ξ)+M2(ξ)]=M(ξ 2)-2M(ξ)M(ξ)+M2(ξ)=

=М(ξ 2)–2M2(ξ)+М2(ξ)=М(ξ 2)-M2(ξ).

Итак,

D(ξ)=М(ξ 2)-[М(ξ)]2.

Квадратная скобка введена в запись формулы для удобства ее запоминания.

Пример. Найти дисперсию случайной величины ξ, которая задана следующим законом распределения:

ξ

2

3

5

P

0,1

0,6

0,3

Решение. Найдем математическое ожидание М(ξ):

М(ξ)=2·0,1+3·0,6+5·0,3=3,5.

Напишем закон распределения случайной величины ξ 2:

ξ2

4

9

25

P

0,1

0,6

0,3

Найдем математические ожидания М(ξ 2):

М(ξ 2)=4·0,1+9·0,6+25·0,3=13,3.

Искомая дисперсия

D(ξ)=M(ξ 2)-[М(ξ)]2=13,3-(3,5)2=1,05.

Свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D(С)=0.

Доказательство. По определению дисперсии,

D(С)=М{[С-М(С)]2}.

Пользуясь первым свойством математического ожидания (математическое ожидание постоянной равно самой постоянной), получим

D(C)=M[(С–С)2]=М(0)=0.

Итак,

D(C)=0.

Свойство становится ясным, если учесть, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния, конечно, не имеет.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(Cξ)=C2D(ξ).

Доказательство. По определению дисперсии имеем

Dξ)=М{[Сξ-М(Сξ)]2}.

Пользуясь вторым свойством математического ожидания (постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания), получим

Dξ)=М{[Сξ–С М(ξ)]2}=М{С2[ξ-М(ξ)]2}=

2М{[ξ-М(ξ)]2}=C2D(ξ).

Итак,

D(Cξ)=C2D(ξ).

Свойство становится ясным, если принять во внимание, что при |С|>1 величина Сξ имеет возможные значения (по абсолютной величине), большие, чем величина ξ. Отсюда следует, что эти значения рассеяны вокруг математического ожидания М(Сξ) больше, чем возможные значения ξ вокруг М(ξ), т. е. D(Сξ)>D(ξ). Напротив, если 0<|С|<1, то D(Сξ)<D(ξ).

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(ξ+η)=D(ξ)+D(η).

Доказательство. По формуле для вычисления дисперсии имеем

D(ξ+η)=М[(ξ+η)2]-[M(ξ+η)]2.

Раскрыв скобки и пользуясь свойствами математического ожидания суммы нескольких величин и произведения двух независимых случайных величин, получим

D(ξ+η)=М2+2ξ η+η2]-[M(ξ)+M(η)]2=

=M2)+2M(ξ)·M(η)+M2)–M2(ξ)-2M(ξ)·M(η)–M2(η)=

={М2)-[М(ξ)]2}+{М2)-[M(η)]2}=D(ξ)+D(η).

Итак,

D(ξ+η)=D(ξ)+D(η).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Например, для трех слагаемых имеем

D(ξ+η+θ)=D[ξ+(η+θ)]=D(ξ)+D(η+θ)=D(ξ)+D(η)+D(θ).

Для произвольного числа слагаемых доказательство проводится методом математической индукции.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

D(C+ξ)=D(ξ).

Доказательство. Величины С и ξ независимы, поэтому, по третьему свойству,

D(C+ξ)=D(C)+D(ξ).

В силу первого свойства D(C)=0. Следовательно,

D(C+ξ)=D(ξ).

Свойство становится понятным, если учесть, что величины ξ и ξотличаются лишь началом отсчета и, значит, рассеяны вокруг своих математических ожиданий одинаково.

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(ξ-η)=D(ξ)+D(η).

Доказательство. В силу третьего свойства

D(ξ-η)=D(ξ)+D(-η).

По второму свойству,

D(ξ-η)=D(ξ)+(-1)2D(η),

или

D(ξ-η)=D(ξ)+D(η).

Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях.

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна. Найдем, чему равна дисперсия числа появлений события в этих испытаниях.

Теорема. Дисперсия числа появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

D(ξ)=npq.

Доказательство. Рассмотрим случайную величину ξ - число появлений события А в п независимых испытаниях. Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях равно сумме появлений события в отдельных испытаниях:

ξ=ξ1+ξ2+...+ξn,

где ξ1 - число наступлений события в первом испытании, ξ2 - во втором,...,ξп - в п-м.

Величины ξ1,ξ2,...,ξп взаимно независимы, так как исход каждого испытания не зависит от исходов остальных, поэтому мы вправе воспользоваться свойством дисперсии суммы нескольких взаимно независимых случайных величин:

D(ξ)=D(ξ1)+D(ξ2)+…+D(ξn).

Вычислим дисперсию ξ1 по формуле

D(ξ1)=M(ξ1)–[M(ξ1)]2

Величина ξ1 - число появлений события А в первом испытании, поэтому М(ξ1)=р.

Найдем математическое ожидание величины ξ , которая может принимать только два значения, а именно: 12 с вероятностью р и 02 с вероятностью q:

M(ξ )=12p+02q=p.

Подставляя найденные результаты в выражение для дисперсии, получим

D(ξ1)=p–p2=p(1–p)=pq.

Очевидно, дисперсия каждой из остальных случайных величин также равна pq. Заменив каждое слагаемое на pq, окончательно получим

D(ξ)=npq.

Так как величина ξ распределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и так: дисперсия биномиального распределения с параметрами п и р равна произведению npq.

Пример. Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины ξ - числа появлений события в этих испытаниях.

Решение. По условию, n=10, р=0,6. Очевидно, вероятность непоявления события q=1-0,6=0,4.

Искомая дисперсия

D(ξ)=npq=10·0,6·0,4=2,4.

Среднее квадратическое отклонение.

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины ξ называют квадратный корень из дисперсии:

σ(ξ)= .

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность σ(ξ) совпадает с размерностью ξ. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если ξ выражается в линейных метрах, то σ(ξ) будет выражаться также в линейных метрах, a D(ξ) - в квадратных метрах.

Пример. Случайная величина ξ задана законом распределения

ξ

2

3

10

P

0,1

0,4

0,5

Найти среднее квадратическое отклонение σ(ξ).

Решение. Найдем математическое ожидание ξ:

М(ξ)=2·0,1+3·0,4+10·0,5=6,4.

Найдем математическое ожидание ξ 2:

М(ξ 2)=22·0,1+32·0,4+102·0,5=54.

Найдем дисперсию:

D(ξ)=М(ξ 2)-[M(ξ)]2=54-6,42=13,04.

Искомое среднее квадратическое отклонение

σ(ξ)= = 3,61.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.