§23. Дисперсия дискретной случайной величины

Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения. Рассмотрим, например, дискретные случайные величины ξ и η, заданные следующими законами распределения:

ξ	-0,01	0,01		η	-100	100
P	0,5	0,5		P	0,5	0,5

Найдем математические ожидания этих величин:

М(ξ)=-0,01·0,5+0,01·0,5=0,

М(η)=-100·0,5+100·0,5=0.

Здесь математические ожидания обеих величин одинаковы, а возможные значения различны, причем ξ имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, a η - далекие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует.

По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

Введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Пусть ξ - случайная величина и М(ξ) - ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность ξ-М(ξ).

Определение. Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием. Пусть закон распределения ξ известен:

ξ	x1	x2	…	xn
P	p1	p2	…	pn

Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение x₁-М(ξ), достаточно, чтобы случайная величина приняла значение x₁. Вероятность же этого события равна р₂, следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение x₁-М(ξ), также равна р₂. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения.

Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения:

ξ-М(ξ)	x1-М(ξ)	x2-М(ξ)	…	xn-М(ξ)
P	p1	p2	…	pn

Приведем важное свойство отклонения.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

М[ξ-М(ξ)]=0.

Доказательство. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание разности равно разности математических ожиданий, математическое ожидание постоянной равно самой постоянной) и приняв во внимание, что М(ξ) - постоянная величина, имеем М[ξ-М(ξ)]=М(ξ)-М[М(ξ)]=М(ξ)-М(ξ)=0.

Пример. Задан закон распределения дискретной случайной величины ξ:

ξ	1	2
P	0,2	0,8

Убедиться, что математическое ожидание отклонения равно нулю.

Решение. Найдем математическое ожидание ξ:

М(ξ)=1·0,2+2·0,8=1,8.

Найдем возможные значения отклонения, для чего из возможных значений ξ вычтем математическое ожидание М(ξ): 1-1,8=-0,8; 2-1,8= 0,2.

Напишем закон распределения отклонения:

ξ-М(ξ)	-0,8	0,2
P	0,2	0,8

Найдем математическое ожидание отклонения:

М[ξ-М(ξ)]=(-0,8)·0,2+0,2·0,8=0.

Итак, математическое ожидание отклонения равно нулю, как и должно быть.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

Определение. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D(ξ)=M[ξ-M(ξ)]².

Пусть случайная величина задана законом распределения

ξ	x1	x2	…	xn
P	p1	p2	…	pn

Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон распределения:

[ξ-М(ξ)]2	[x1-М(ξ)]2	[x2-М(ξ)]2	…	[xn-М(ξ)]2
P	p1	p2	…	pn

По определению дисперсии,

D(ξ)=M[ξ-M(ξ)]²=[x₁-M(ξ)]²p₁+[x₂-M(ξ)]²p₂+…+[x_n-M(ξ)]²p_n .

Таким образом, для того чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Пример. Найти дисперсию случайной величины ξ, которая задана следующим законом распределения:

ξ	1	2	5
P	0,3	0,5	0,2

Решение. Найдем математическое ожидание:

М(ξ)=1·0,3+2·0,5+5·0,2=2,3.

Найдем все возможные значения квадрата отклонения:

[x₁-M(ξ)]²=(1-2,3)²=1,69;

[x₂-M(ξ)]²=(2-2,3)²=0,09;

[x₃-M(ξ)]²=(5-2,3)²=7,29.

Напишем закон распределения квадрата отклонения:

[ξ-М(ξ)]2	1,69	0,09	7,29
P	0,3	0,5	0,2

По определению, D(ξ)=1,69·0,3+0,09·0,5+7,29·0,2=2,01.

Формула для вычисления дисперсии.

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины ξ и квадратом ее математического ожидания:

D(ξ)=M(ξ²)–[M(ξ)]².

Доказательство. Математическое ожидание М(ξ) есть постоянная величина, следовательно, 2М(ξ) и М²(ξ) есть также постоянные величины. Приняв это во внимание и пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), упростим формулу, выражающую определение дисперсии:

D(ξ)=М[ξ-М(ξ)]²=М[ξ ²-2ξМ(ξ)+M²(ξ)]=M(ξ ²)-2M(ξ)M(ξ)+M²(ξ)=

=М(ξ ²)–2M²(ξ)+М²(ξ)=М(ξ ²)-M²(ξ).

Итак,

D(ξ)=М(ξ ²)-[М(ξ)]².

Квадратная скобка введена в запись формулы для удобства ее запоминания.

Пример. Найти дисперсию случайной величины ξ, которая задана следующим законом распределения:

ξ	2	3	5
P	0,1	0,6	0,3

Решение. Найдем математическое ожидание М(ξ):

М(ξ)=2·0,1+3·0,6+5·0,3=3,5.

Напишем закон распределения случайной величины ξ ²:

ξ2	4	9	25
P	0,1	0,6	0,3

Найдем математические ожидания М(ξ ²):

М(ξ ²)=4·0,1+9·0,6+25·0,3=13,3.

Искомая дисперсия

D(ξ)=M(ξ ²)-[М(ξ)]²=13,3-(3,5)²=1,05.

Свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D(С)=0.

Доказательство. По определению дисперсии,

D(С)=М{[С-М(С)]²}.

Пользуясь первым свойством математического ожидания (математическое ожидание постоянной равно самой постоянной), получим

D(C)=M[(С–С)²]=М(0)=0.

Итак,

D(C)=0.

Свойство становится ясным, если учесть, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния, конечно, не имеет.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(Cξ)=C²D(ξ).

Доказательство. По определению дисперсии имеем

D(Сξ)=М{[Сξ-М(Сξ)]²}.

Пользуясь вторым свойством математического ожидания (постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания), получим

D(Сξ)=М{[Сξ–С М(ξ)]²}=М{С²[ξ-М(ξ)]²}=

=С²М{[ξ-М(ξ)]²}=C²D(ξ).

Итак,

D(Cξ)=C²D(ξ).

Свойство становится ясным, если принять во внимание, что при |С|>1 величина Сξ имеет возможные значения (по абсолютной величине), большие, чем величина ξ. Отсюда следует, что эти значения рассеяны вокруг математического ожидания М(Сξ) больше, чем возможные значения ξ вокруг М(ξ), т. е. D(Сξ)>D(ξ). Напротив, если 0<|С|<1, то D(Сξ)<D(ξ).

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(ξ+η)=D(ξ)+D(η).

Доказательство. По формуле для вычисления дисперсии имеем

D(ξ+η)=М[(ξ+η)²]-[M(ξ+η)]².

Раскрыв скобки и пользуясь свойствами математического ожидания суммы нескольких величин и произведения двух независимых случайных величин, получим

D(ξ+η)=М[ξ²+2ξ η+η²]-[M(ξ)+M(η)]²=

=M(ξ²)+2M(ξ)·M(η)+M(η²)–M²(ξ)-2M(ξ)·M(η)–M²(η)=

={М(ξ²)-[М(ξ)]²}+{М(η²)-[M(η)]²}=D(ξ)+D(η).

Итак,

D(ξ+η)=D(ξ)+D(η).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Например, для трех слагаемых имеем

D(ξ+η+θ)=D[ξ+(η+θ)]=D(ξ)+D(η+θ)=D(ξ)+D(η)+D(θ).

Для произвольного числа слагаемых доказательство проводится методом математической индукции.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

D(C+ξ)=D(ξ).

Доказательство. Величины С и ξ независимы, поэтому, по третьему свойству,

D(C+ξ)=D(C)+D(ξ).

В силу первого свойства D(C)=0. Следовательно,

D(C+ξ)=D(ξ).

Свойство становится понятным, если учесть, что величины ξ и ξ+С отличаются лишь началом отсчета и, значит, рассеяны вокруг своих математических ожиданий одинаково.

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(ξ-η)=D(ξ)+D(η).

Доказательство. В силу третьего свойства

D(ξ-η)=D(ξ)+D(-η).

По второму свойству,

D(ξ-η)=D(ξ)+(-1)²D(η),

или

D(ξ-η)=D(ξ)+D(η).

Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях.

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна. Найдем, чему равна дисперсия числа появлений события в этих испытаниях.

Теорема. Дисперсия числа появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

D(ξ)=npq.

Доказательство. Рассмотрим случайную величину ξ - число появлений события А в п независимых испытаниях. Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях равно сумме появлений события в отдельных испытаниях:

ξ=ξ₁+ξ₂+...+ξ_n,

где ξ₁ - число наступлений события в первом испытании, ξ₂ - во втором,...,ξ_п - в п-м.

Величины ξ₁,ξ₂,...,ξ_п взаимно независимы, так как исход каждого испытания не зависит от исходов остальных, поэтому мы вправе воспользоваться свойством дисперсии суммы нескольких взаимно независимых случайных величин:

D(ξ)=D(ξ₁)+D(ξ₂)+…+D(ξ_n).

Вычислим дисперсию ξ₁ по формуле

D(ξ₁)=M(ξ₁)–[M(ξ₁)]²

Величина ξ₁ - число появлений события А в первом испытании, поэтому М(ξ₁)=р.

Найдем математическое ожидание величины ξ , которая может принимать только два значения, а именно: 1² с вероятностью р и 0² с вероятностью q:

M(ξ )=1²p+0²q=p.

Подставляя найденные результаты в выражение для дисперсии, получим

D(ξ₁)=p–p²=p(1–p)=pq.

Очевидно, дисперсия каждой из остальных случайных величин также равна pq. Заменив каждое слагаемое на pq, окончательно получим

D(ξ)=npq.

Так как величина ξ распределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и так: дисперсия биномиального распределения с параметрами п и р равна произведению npq.

Пример. Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины ξ - числа появлений события в этих испытаниях.

Решение. По условию, n=10, р=0,6. Очевидно, вероятность непоявления события q=1-0,6=0,4.

Искомая дисперсия

D(ξ)=npq=10·0,6·0,4=2,4.

Среднее квадратическое отклонение.

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины ξ называют квадратный корень из дисперсии:

σ(ξ)= .

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность σ(ξ) совпадает с размерностью ξ. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если ξ выражается в линейных метрах, то σ(ξ) будет выражаться также в линейных метрах, a D(ξ) - в квадратных метрах.

Пример. Случайная величина ξ задана законом распределения

ξ	2	3	10
P	0,1	0,4	0,5

Найти среднее квадратическое отклонение σ(ξ).

Решение. Найдем математическое ожидание ξ:

М(ξ)=2·0,1+3·0,4+10·0,5=6,4.

Найдем математическое ожидание ξ ²:

М(ξ ²)=2²·0,1+3²·0,4+10²·0,5=54.

Найдем дисперсию:

D(ξ)=М(ξ ²)-[M(ξ)]²=54-6,4²=13,04.

Искомое среднее квадратическое отклонение

σ(ξ)= = 3,61.