Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Еще оди вариант тервера .doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
04.05.2019
Размер:
2.75 Mб
Скачать

§31. Характеристические функции

Используем обозначения: i= - мнимая единица, t - вещественная переменная, eit=cost+isint - формула Эйлера, M(η+)=+iMζ - способ вычисления математического ожидания комплекснозначной случайной величины η+, если математические ожидания ее действительной (η) и мнимой (ζ) частей существуют.

Модулем комплексного числа z=х+iу называется |z|= , так что |eit|=1.

Определение. Функция φξ(t)=Meitξ называется характеристической функцией случайной величины ξ.

Пример. Пусть случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром р. Ее характеристическая функция равна

φξ(t)=Meitξ=eit∙0Р(ξ=0)+eit∙1Р(ξ=1)=1–р+рeit.

Пример. Пусть случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с параметрами п и р. Ее характеристическая функция равна

φξ(t)=Meitξ= = = =(1-р+рeit)n.

Последнее равенство является биномом Ньютона.

Пример. Пусть случайная величина ξ имеет распределение Пуассона с параметром λ. Ее характеристическая функция равна

φξ(t)=Meitξ= = =

= = exp{λ(eit-1)}.

Пример. Пусть случайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром α. Ее характеристическая функция равна

φξ(t)=Meitξ= = = =

= = ,

поскольку при х→∞ модуль величины е(α-it)=e-αx·eitx стремится к нулю: -х(α-it)|=e-αx→0.

Пример. Пусть случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение. Ее характеристическая функция равна

φξ(t)= = =

= = .

При интегрировании мы выделили полный квадрат в показателе экспоненты и учли, что интеграл по всей прямой от функции =1.

Свойства характеристических функций.

Свойство 1. Характеристическая функция всегда существует:

|φξ(t)|=|Meitξ|≤M|eitξ|=M1=1

Обычные математические ожидания существуют не у всех распределений.

Свойство 2. По характеристической функции однозначно восстанавливается распределение (функция распределения, а также плотность или таблица распределения). То есть если две случайные величины имеют одинаковые характеристические функции, то и распределения этих случайных величин совпадают.

Формулы, с помощью которых это делается, в анализе называют формулами «обратного преобразования Фурье». Например, если модуль характеристической функции интегрируем на всей прямой, то у случайной величины есть плотность распределения, и она находится по формуле

fξ(x)= .

Ни одна из формул обратного преобразования Фурье нам не понадобится.

Свойство 3. Характеристическая функция случайной величины а+ связана с характеристической функцией случайной величины равенством

φа+(t)=Meit (а+)=eitа φξ (tb).

Пример. Вычислим характеристическую функцию случайной величины ξ, имеющей нормальное распределение с параметрами а и σ2. У стандартизованной случайной величины ζ= характеристическая функция равна φζ(t)= . Тогда характеристическая функция случайной величины ξ=а+σζ равна

φξ (t)=φа +σζ (t)=eitа φζ (tb)=eitа =exp .

Свойство 4. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых: если случайные величины ξ и η независимы, то, по свойству математических ожиданий

φξ+η(t)=Meit(ξ+η)=MeitξMeitη=φξ(t)φη(t).

Этим свойством воспользуемся для доказательства леммы, утверждающей устойчивость нормального распределения относительно суммирования.

Лемма. Пусть случайные величины ξ и η независимы. Характеристическая функция суммы ξ+η равна

φξ+η(t)=φξ(t)φη(t)=exp exp =exp .

То есть характеристическая функция суммы есть характеристическая функция нормального распределения с параметрами а1+а2, . Тогда ξ+η по свойству характеристической функции.

Пример. Докажем свойства устойчивости по суммированию биномиального распределения и распределения Пуассона, используя вычисленные в предыдущих примерах характеристические функции.

Для независимых случайных величин с распределениями Пуассона Пλ и Пμ характеристическая функция суммы

φξ+η(t)=φξ(t)φη(t)=ехр{λit-1)}ехр{μit-l)}=ехр{(λ+μ)(еit-l)}

равна характеристической функции распределения Пуассона с параметром λ+μ.

Для независимых случайных величин с биномиальными распределениями Вп,р и Вт,р характеристическая функция суммы

φξ+η(t)=φξ(t)φη(t)=(1-р+рeit)n(1-р+рeit)т=(1-р+рeit)n

равна характеристической функции биномиального распределения с параметрами п+m, p.

Свойство 5. Пусть существует момент порядка k=1,2,... случайной величины ξ, то есть M|ξ|k<∞. Тогда ее характеристическая функция φξ(t) непрерывно дифференцируема k раз, и ее k производная в нуле связана с моментом порядка k равенством:

= = =ikk..

Существование и непрерывность k-й производной, равно как и законность переноса производной под знак математического ожидания мы доказывать не будем.

Свойство 6. Пусть существует момент порядка k=1,2,... случайной величины ξ, то есть M|ξ|k<∞. Тогда ее характеристическая функция φξ(t) в окрестности точки t=0 разлагается в ряд Тейлора

φξ(t)=φξ(0)+ +o(|tk|)=1+ +o(|tk|)=

=1+itMξ-2+…+k+o(|tk|).

Ряды Тейлора, как правило, возникают при предельном переходе. Следующее основное свойство характеристических функций потребуется нам для доказательства предельных теорем.

Теорема (о непрерывном соответствии). Случайные величины ξп слабо сходятся к случайной величине ξ тогда и только тогда, когда для любого t характеристические функции сходятся к характеристической функции φξ(t).

Слабая сходимость случайных величин имеет место, когда последовательность функций распределений случайных величин ξп сходится к функции распределения случайной величины  в точках непрерывности последней.

Сформулированная теорема устанавливает непрерывное соответствие между классами функций распределения со слабой сходимостью и характеристических функций со сходимостью в каждой точке. «Непрерывность» этого соответствия - в том, что пределу в одном классе относительно заданной в этом классе сходимости соответствует предел в другом классе относительно сходимости, заданной в этом классе.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.