Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Еще оди вариант тервера .doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
04.05.2019
Размер:
2.75 Mб
Скачать

§10. Схема Бернулли

Определение. Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода - «успех» и «неудача», при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятностью р [0;1], «неудача» — с вероятностью q=1–р и исход каждого последующего испытания не зависит от исходов предыдущих испытаний.

Теорема (Формула Бернулли). Обозначим через число успехов в n испытаниях схемы Бернулли. Тогда для любого k=0, 1, …, n

P( =k)=C pk(1-p)n-k= C pkqn-k.

Доказательство. Событие А={ =k} означает, что в п испытаниях схемы Бернулли произошло ровно k успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию А элементарных исходов: . Здесь буквами «у» и «н» обозначены, соответственно, успешный и неудачный результаты испытаний. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода (первые k испытаний завершились успехом, остальные неудачей) равна pk(1-p)n-k.

Другие благоприятствующие событию А элементарные исходы отличаются от рассмотренного выше лишь расположением k успехов на п местах. Есть ровно C способов расположить k успехов на п местах. Поэтому событие А состоит из C элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна pk(1-p)n-k.

Наиболее вероятное число успехов.

По формуле Бернулли, событие «произошло 0 успехов в п испытаниях» имеет вероятность qn, один успех — вероятность npqn и так далее. Какое же число успехов наиболее вероятно? Иначе говоря, при каком k достигается максимум Р( =k)?

Сравним отношение Р( =k) и Р( =k-1) с единицей.

= = =

=1+ -1=1+ .

Видим, что

  1. Р( =k)>Р( =k-1) при пр+р-k>0, то есть при k<пр+р

  2. Р( =k)<Р( =k-1) при пр+р-k<0, то есть при k>пр+р;

  3. Р( =k)=Р( =k-1) при пр+р-k=0, что возможно лишь если пр+р – целое число.

Рассмотрим два случая: пр+р Z и пр+р Z. В первом случае пусть k0=пр+р. Из полученных выше неравенств сразу следует, что

…<Р( =k0-2) Р( =k0-1) Р( =k0) Р( =k0+1)>…

Во втором случае пусть k0=[np+р] (целая часть числа пр+р, то есть наибольшее целое число, не превосходящее пр+р. Из неравенств (а),(b) следует, что

…<Р( =k0-2) Р( =k0-1) Р( =k0) Р( =k0+1)>…

Действительно, неравенство Р( =k0)>Р( =k0+1) например, следует из (b), примененного для k=k0+1>пр+р.

Видим, что в зависимости от того, является число пр+р целым или нет, имеется либо два равновероятных «наиболее вероятных» числа успехов k0=пр+р и k0-1=пр+р-1, либо одно «наиболее вероятное» число успехов k0=[пр+р].

Сформулируем уже доказанное утверждение в виде теоремы.

Теорема. В п испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха р наиболее вероятным числом успехов является

а) единственное число k0=[пр+р], если число пр+р не целое;

б) два числа k0=пр+р и k0 -1=пр+р-1, если число пр+р целое.

Пример. Если р=q=1/2, то при четном числе испытаний п число пр+р=п/2+1/2 Z - не целое, так что наиболее вероятным является единственное число успехов [п/2+1/2]=п/2. Что совершенно понятно, так как есть нечетное число возможностей - получить 0,1,... ,п успехов, причем вероятности получить k и п-k успехов одинаковы.

При нечетном же числе испытаний п число пр+р=п/2+1/2 Z - целое, так что наиболее вероятными (и одинаково вероятными) являются два числа успехов п/2+1/2 и n/2-1/2.

Независимые испытания с несколькими исходами.

Рассмотрим следующий пример, когда из двух очень похожих вопросов на один можно ответить, пользуясь формулой Бернулли, а для другого этой формулы оказывается недостаточно:

Пример. Игральная кость подбрасывается 15 раз. Найти вероятности следующих событий:

а) выпадет ровно 10 шестерок;

б) выпадет ровно 10 шестерок и три единицы.

Решение:

а) есть 15 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 1/6 (выпадение шестерки). Вероятность десяти успехов в 15 испытаниях равна С ;

б) здесь каждое испытание имеет три, а не два исхода: выпадение шестерки, выпадение единицы, выпадение остальных граней. Воспользоваться формулой для числа успехов в схеме Бернулли не удается - перед нами уже не схема Бернулли.

Выведем формулу для подсчета вероятности каждому исходу в нескольких независимых испытаниях выпасть нужное число раз, если в одном испытании возможно не два, а более исходов.

Пусть в одном испытании возможны m исходов. Обозначим их цифрами 1,2,...,m. Пусть исход i в одном испытании случается с вероятностью pi, 1≤im, u =1.

Обозначим через P(n1,...,nm) вероятность того, что в n=n1+...+nm независимых испытаниях исход 1 появился n1 раз, исход 2 - n2 раз, ... , исход m - nm раз.

Теорема. Для любого п и любых целых n1≥0,...,пт≥0 таких, что n1+…+пт=п, верна формула:

P(n1,…,пт)= .

Доказательство. Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению п1 единиц, п2 двоек, ... , пт раз т-ок:

( ).

Это результат п экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата п независимых испытаний равна .

Все остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел 1,2,... на п местах. Число таких исходов равно числу способов расставить на п местах п1 единиц, n2 двоек, ... , пт чисел т, то есть

C C C C =

Вернемся к решению примера (б) и выпишем ответ: так как вероятности выпадения шестерки и единицы равны 1/6, а вероятность третьего исхода (выпали любые другие грани) равна 4/6, то вероятность получить 10 шестерок, 3 единицы и еще 2 других очка равна

Р(10,3,2)= · .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.