Статистическая проверка гипотез

Теория статистической проверки гипотез в приложении к регрессионным моделям разработана английским математиком Фишером.

Пусть Н₀ – гипотеза о том, что статистической связи между Х и Y нет (или она не существенна, статистически не значима), а Н₁ – гипотеза о том, что связь есть (или она существенна, статистически значима). Предположим, что выполняется гипотеза Н₀ об отсутствии связи. В этом случае истинное значение коэффициента регрессии  = 0 и F-статистика (2.51) становится равной

(2.52)

Очевидно, что с ростом значения F (или коэффициента детерминации R²) увеличивается степень статистической связи между фактором и показателем (так как она пропорциональна коэффициенту регрессии и обратно пропорциональна случайным ошибкам модели). Зададим вероятность

(2.53)

как вероятность того, что при превышении расчетным значением (2.51) F некоторого критического значения F_кр гипотеза об отсутствии связи Н₀ верна. Очевидно, с вероятностью 1 –  она при том же условии неверна. Графически эта вероятность определяется как площадь под плотностью вероятности p(F) при F > F_кр, рис.2.15. Вероятность  (ее иногда называют коэффициентом значимости) обычно выбирают малой (равной 0,05 или 0,01), после чего для заданных значений вероятности  рассчитываются численно критические значения F_кр в соответствии с (2.53) или R²_кр с учетом зависимости (2.52). Эти значения табулируются, т.е. заносятся в таблицы критических коэффициентов детерминации или критических значений F-статистики.

Рис.2.15

Определение существенности статистической связи для модели линейной регрессии осуществляется по следующей методике. На основе выборочных данных строится модель и определяется коэффициент детерминации R², который затем сравнивается с критическим коэффициентом детерминации R²_кр. Последний находится по таблице критических значений коэффициента детерминации (Приложение 1). Входными данными таблицы являются коэффициент значимости  = 0,05 (или 0,01), номер столбца таблицы k₁ = k – 1, номер строки k₂ = n – k, где k – число параметров модели (для двухмерной модели k = 2 и используется первый столбец таблицы). Напомним, что параметр k₁ – это число степеней свободы числителя F-статистики (2.51), k₂ – число степеней свободы знаменателя F-статистики. Коэффициент детерминации можно пересчитать в F-статистику (критерий Фишера), в общем случае по формуле

k₁ = k – 1 = 1, k₂ = n – k = n – 2.

Для двухмерной модели она совпадает с (2.52). Рассчитанное для модели значение F сравнивается с критическим (Приложение 2). При F > F_кр (или R² > R²_кр) делается вывод, что с вероятностью (1 – ) связь существенна (статистически значима). В противном случае говорят, что связь не установлена.

Пример 2.4. Определим существенность связи для построенной в параграфе 2.2 МЛР (пример 2.2). Согласно данным таблицы 2.2 и формулы (2.22) определяем коэффициент детерминации

R² = 1 – = 0,9092.

Тот же результат можно получить и с помощью формулы (2.23)

.

По входным данным k₁ = k – 1 = 1, k₂ = n – k = 8 (k = 2, n = 10) таблицы (Приложение 1) находим критическое значение коэффициента детерминации при = 0,05

.

Так как R² > , заключаем, что связь между товарооборотом и торговой площадью торгового предприятия существенна (статистически значима) с вероятностью 0,95.

Если доступными являются лишь таблицы критических значений распределения Фишера, то рассчитываем значение

.

Далее по таблице (Приложение 2) при тех же входных параметрах находим F_кр = 5,32. Так как F > F_кр, делаем тот же вывод о существенности связи между показателем и фактором.

Таким образом, при рассчитанных после построения модели значениях R² или F, превышающих критические табличные значения для заданных (или ), можно с вероятностью (или ) утверждать, что статистическая связь существенна.

Задачи

1. Для выборки из 10 специалистов с тарифными разрядами от 2-го до 6-го их заработки составляли:

Тарифный разряд	2	3	4	5	6
Заработок, у.е.	150	200 280	300 400 460	350 420	500 700

Построить график модели линейной регрессии (вместе с диаграммой рассеяния), определить существенность корреляционной связи между уровнем квалификации и зарплатой (с вероятностью 0,95).

2. Возраст (x_i, лет) и вес (y_i, кг) 12 школьников описываются выборкой {x_i, y_i}⁽¹²⁾ = {(10, 28), (10, 32), (11, 34), (11, 35), (11, 36), (12, 36), (13, 39), (14, 41), (14, 44), (15, 46), (15, 48), (15, 50)}.

Построить модель линейной регрессии веса детей в зависимости от возраста (вместе с диаграммой рассеяния), определить интервальные ошибки оценок параметров а и b модели с доверительной вероятностью 0,95, коэффициент корреляции между возрастом и весом, сделать выводы.

3. По результатам выборочного наблюдения с объемом выборки n = 40 определены значения

Построить график МЛР, определить коэффициенты детерминации, корреляции и существенность связи между фактором и показателем.

4. Пусть известны 2 точки выборки (0; 4) и (3; 1). Найти еще 3 точки выборки, при которых коэффициент детерминации будет равен 1.

5. Дисперсия оценки коэффициента регрессии b двухмерной МЛР равна 4,6; рассчитаны значения объем выборки n = 20.

Определить дисперсию и СКО оценки постоянной составляющей модели.

6. Для выборки парной регрессии рассчитаны суммы .

Определить оценку дисперсии ошибок двухмерной МЛР, при которой относительная среднеквадратичная ошибка оценки коэффициента регрессии b не превышает 1%.

7. Модель зависимости спроса у^* (тыс. шт.) от цены х (грн.) описывается уравнением прямой у^* = 28 – 0,12х, объем выборки n = 100, коэффициент детерминации

Определить доверительный интервал прогноза спроса при цене единицы товара 100 грн. с доверительной вероятностью 95,4%.