6.2. Двухпараметрическая парабола
Чтобы использовать метод линеаризации нелинейной модели парной регрессии, число её параметров должно равняться размерности модели, т.е. m = 2. Принимая коэффициент линейной регрессии b = 0 в полиноме второй степени, получим двухпараметрическую параболу
(, х) = a + cх2, = (a,c). (6.10)
Её экстремум находится в точке х = 0, причем при с > 0 это точка минимума, а при c < 0 – точка максимума функции (, х).
Суть метода линеаризации состоит в замене переменных (х или y, или х и у), которая сводит нелинейную модель к линейной. Это позволяет пользоваться всеми результатами, полученными для МЛР. Линеаризация (6.10) состоит в очевидной замене переменной
z = x2, (6.11)
что позволяет перейти к линейной модели
у*( z ) = a + cz = а + сх2 (6.12)
c фактором z, связанным с исходным фактором x зависимостью (6.11). Оценки параметров модели определяются согласно (2.8) и (2.9) как
(6.13)
(6.14)
Все выражения для ошибок параметров модели и прогноза, полученные для МЛР, применимы для линеаризованной модели после замены переменной х на z c последующей подстановкой (6.11), а также с учетом нового обозначения коэффициента регрессии с вместо b. Аналогично проверяется и существенность статистической связи фактора и показателя.
Пример 6.2. Построим двухпараметрическую параболу по данным примера 6.1. Эта модель, как нетрудно догадаться, является неудачной, так как её максимум смещен в точку х = 0. По формулам (6.13), (6.14) определяем параметры модели
Следовательно, уравнение параболы
у*= 5,77964 – 0,10635х2.
Эта зависимость вместе с точками выборки (таблица 6.1) приведена на рис.6.2 (сплошная кривая). Построенная модель мало отличается от линейной и имеет существенные ошибки аппроксимации.
Можно, однако, получить хорошую двухпараметрическую параболу, если использовать информацию об известной точке экстремума. Например, при сезонных колебаниях спроса она априори известна (приблизительно). Скажем, в примере 6.1 можно принять точку максимума х0 = 3 (это месяц декабрь) для максимального объема продаж. Тогда вместо х целесообразно использовать смещенную переменную (х – х0) и сделать замену переменной
z = (х – х0)2, (6.15)
при этом уравнение модели принимает вид
(6.16)
Здесь оценки параметров определяются согласно (6.13) – (6.15). Для нашего примера расчеты сведем в таблицу 6.2.
Таблица 6.2
i |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
yi |
6 |
6 |
5 |
2 |
2 |
25 |
xi |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
21 |
xi – х0 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
3 |
(xi– х0)2 |
1 |
0 |
1 |
4 |
9 |
19 |
yi (xi – х0) |
–6 |
0 |
5 |
4 |
6 |
1 |
Параметры скорректированной параболы равны
Полученная таким образом модель
у* = f(x) = 6,247619 – 0,657143(х – 3)2 = 0,33332 + 3,942858х – 0,657143х2,
изображена на рис.6.2 (штриховая линия). Хотя она не является оптимальной квадратичной моделью с минимальным функционалом ошибок (параметры которой получены в примере 6.1), но достаточно близка к ней. Это видно из сравнения графиков на рис.6.1. и 6.2. Чем точнее задана точка максимума х0, тем ближе двухпараметрическая парабола к оптимальной трехпараметрической. Заметим, что несмотря на возможную потерю точности аппроксимации расчет параметров двухпараметрической параболы проще, чем для оптимальной модели.
Рис.6.2
Рассмотренные примеры показали, что при построении моделей с экстремумами наихудшие результаты по точности аппроксимации дает линейная модель, затем двухпараметрическая парабола с несмещенным фактором (6.12), затем двухпараметрическая парабола со смещенным фактором (6.16), и, наконец, трехпараметрическая парабола (6.12), являющаяся наиболее точной в классе степенных функций второй степени. Разумеется, можно и дальше увеличивать точность аппроксимации, задаваясь для моделирования полиномами 3-й, 4-й и т.д. степеней, однако это практически нецелесообразно, так как в эконометрических моделях в условиях известных ограничений важны тренды (роста, падения, экстремума, стабилизации). Для их описания, как правило, достаточно двух-трех параметров.