Логарифмическая модель

Логарифмическая функция обратна экспоненциальной (функция и аргумент у них меняются местами). Например, при основании е из у = е^х следует обратная зависимость х = lny. Поменяв обозначения зависимой и независимой переменных, получим логарифмическую функцию

f(x) = lnx, x > 0.

Её график приведен на рис.6.6. Она растет с уменьшением скорости как производной Иначе говоря, изменение скорости логарифмической функции существенно меньше изменения скорости экспоненциальной функции.

Рис.6.6

Спецификация логарифмической модели со смещением х₀ фактора представляется как

y_i = a+ bln(x_i – x₀) + _i, i = 1,2,…, n, x > x₀. (6.25)

Линеаризация заменой z = ln(x_i – x₀) дает выражения для оценок параметров (6.19), (6.20)

Для нарастающих трендов коэффициент регрессии b > 0, для убывающих b < 0. Постоянная составляющая a смещает график функции вверх (a > 0) или вниз (a < 0).

В прикладном отношении логарифмическая модель (6.25) полезна для описания трендов с небольшим, но непрерывным уменьшением скорости изменения показателя. Скажем, расходы на питание в зависимости от дохода семьи в известных границах могут описываться логарифмической моделью.

Гиперболическая модель

Гипербола со смещением аргумента описывается функцией

(6.26)

и имеет вид, приведенный на рис 6.7. Уравнение двухпараметрической гиперболической модели записывается как

,

а её параметры МНК оцениваются выражениями (6.19), (6.20) с учетом (6.26)

Очевидно, что при моделировании область особой точки х  х₀ исключается. Обычно для описания трендов достаточно пользоваться правой ветвью функции f(x), при этом можно получить нарастающие и убывающие тренды, подобные экспоненциальным, рис. 6.4, или логарифмическим.

Выбор одной из 3-х моделей (экспоненциальной, логарифмической или гиперболической) для переходных к стабилизации процессов может быть не очевидным и требует поочередной апробации с расчетом функционалов ошибок для всех моделей. Лучшей будет модель с минимальными ошибками.

Рис.6.7

Расчет параметров экспоненциальной и логарифмической моделей запрограммирован на калькуляторе CASIO (fx-82-TL, fx-82W) в режиме REG.

Разумеется, рассмотренными выше примерами не исчерпываются все нелинейные модели. В качестве f(x) можно использовать любую известную функцию, близкую к наблюдаемым данным.

Кроме нелинейности для фактора х может встретиться нелинейность по отношению к показателю у. Характерным примером этого является функция

Ее линеаризация состоит в двойной замене переменных: v = y ^–1= a + bz, z = f(x). Параметры линейной модели v(z) определяются известными соотношениями (6.19), (6.20) с подстановкой у^–1 вместо у:

Другим примером нелинейной зависимости показателя и фактора может быть функция

у = a_* b^f(x).

Её логарифмирование дает

v(z) = lny = lna + f(x)lnb = A + Bz, z = f(x). А = lna, B = lnb.

Здесь линеаризованная модель v(z) также получена двойной заменой переменных. Подобные примеры можно множить.

Рассмотренный в данной теме подход можно обобщить на случай многомерной нелинейной регрессии. При её линеаризации можно использовать как одинаковые, так и различные (для каждого фактора) нелинейные функции f_r (X_r), r = 2, 3,…, k. Анализ таких моделей усложняется по сравнению с линейными.

Задачи

1. Выборочные данные парной регрессии определяются 10-ю точками {X,Y} = {(3,2); (3,3); (4,5); (5,8); (5,7); (6,7); (7,7); (8,5); (9,6); (9,4)}.

Определить оценки МНК параметров нелинейной параболической модели (трехпараметрической), построить её график на фоне выборочных точек, рассчитать функционал ошибок (сумму квадратов остатков регрессии).

2. Для выборочных данных задачи 1 определить оценки параметров двухпараметрической параболической модели, построить её график и рассчитать функционал ошибок. Сравнить результаты с результатами задачи 1 (графически и по величине ошибок).

3. Произвести линеаризацию двухмерной модели – кривой В. Парето y^*= a (x – x_min)^–b, где х – семейный доход с минимальным значением x_min, у^* - число лиц с доходом х, а и b – параметры модели, определяемые на основе статистических данных.

4. Получить оценки МНК параметров линеаризованной модели Парето для числа у лиц с доходом х: у^*= a (x – x_min)^–b при минимальном доходе 150 грн. и данных выборки

хi (грн.)	200	300	400	500	600	800	1000	1200	1600	2000
yi (тыс. чел.)	1800	1100	800	500	300	150	100	70	30	20

Построить график модели, определить оценку дисперсии и СКО ошибок (остатков регрессии). Определить прогноз числа лиц с доходом 1700 грн. и доверительный интервал этого прогноза с вероятностью 68%.

5. Получить оценки МНК параметров линеаризованной экспоненциальной модели для числа у лиц с доходом х: y^* = a + be ^{– (x – xmin)} при минимальном доходе 100 грн. и данных выборки

хi (грн.)	200	300	400	500	600	800	1000	1200	1600	2000
yi (тыс. чел.)	1800	1100	800	500	300	150	100	70	30	20

Построить график модели, определить прогноз числа лиц с доходом 2300 грн. и доверительный интервал этого прогноза с вероятностью 95%.

6. Получить оценки МНК параметров линеаризованной логарифмической модели для числа у лиц с доходом х: y^* = a + bln(x/x_min– 1) при минимальном доходе 100 грн. и данных выборки

хi, грн.	200	300	400	500	600	800	1000	1200	1600	2000
yi, тыс. чел.	1800	1100	800	500	300	150	100	70	30	20

Построить график модели, определить прогноз числа лиц с доходом 2200 грн. и доверительный интервал этого прогноза с вероятностью 95%.

7. Получить выражения для оценок дисперсий параметров двухмерной экспоненциальной и логарифмической модели.

8. Получить выражение для оценки дисперсии прогноза показателя двухмерной экспоненциальной модели.