Контрольные вопросы

1. Что такое линия регрессии? Что называется линейной (нелинейной) регрессией?

2. Как строится модель парной линейной регрессии? В чем суть метода наименьших квадратов?

3. Дайте определение:

• постоянной составляющей модели;

• коэффициента регрессии;

• коэффициента детерминации;

• коэффициента корреляции.

Поясните их экономический и математический смысл. Как они связаны друг с другом?

4. Как изменится уравнение модели, если:

1. вдвое возрастут все значения y_i показателя в выборке;

2) вдвое возрастут все значения x_i фактора.

5. Какой из двух параметров (коэффициент детерминации или коэффициент корреляции) содержит больше информации и почему?

6. Какие явления называют некоррелированными? Являются ли они статистически независимыми? Могут ли некоррелированные величины быть статистически зависимыми? Приведите примеры.

7. От чего зависят ошибки оценки параметров МЛР? Как они влияют на прогнозирование показателя?

8. Что такое точечная и интервальная ошибка оценки параметра?

9. Как определяются интервальные ошибки оценки параметров модели и прогноза?

10. Как проверяется существенность связи для МЛР? В чем суть статистической проверки гипотез? Как определяются входные параметры k₁ и k₂ при использовании таблиц Фишера? Как определяется коэффициент значимости α?

3. Многомерная модель линейной регрессии

Практически все явления многофакторны, т.е. имеют множество причинных признаков, приводящих к определенному результату. Погода, состояние здоровья, уровень жизни, курс доллара и т.д. определяются не каким-то одним, а совокупностью факторов, в разной степени влияющих на итоговый показатель. Поэтому двухмерные модели являются лишь первым приближением при анализе социально-экономических процессов. Они могут быть использованы на этапе отбора существенных факторов для их использования в многомерной модели (или модели множественной регрессии). Кроме того, они полезны с методологической точки зрения, так как дают наиболее простую и наглядную интерпретацию понятий и хода решения эконометрических задач.

В общем случае вместо двухмерной модели строится k-мерная модель с (k – 1) фактором X_i, i = 2,…, k, к которым добавляется фиктивный фактор Х₁ = 1 (он вводится для отображения постоянной составляющей). Спецификация модели множественной регрессии с использованием вероятностных свойств генеральной совокупности данных имеет вид

Y = f(X₁, X₂. X₃,…, X_k) + ,

где, как и ранее, Y и  – случайные величины, а функция f(X) и факторы Х_i – детерминированные величины.

Входящие сюда выборочные показатель, факторы и ошибки являются n-мерными вектор-строками:

,

= (1, 1, 1, …, 1),

,

, (3.1)

………………………..

,

.

Мы будем рассматривать модель линейной регрессии (МЛР), в которой функция f(Х) – линейна.

f(Х) = Y^* = X, Y = X + . (3.2)

Здесь  – k-мерный вектор (вектор-строка) параметров модели

 = (₁, ₂, ₃,…, _k), (3.3)

a X – матрица размерности [k  n]

. (3.4)

Первая строка, составленная из единиц, выделяет постоянную составляющую ₁ модели (см. п.2.2). Число строк матрицы k  2 (k = 2 – двухмерная модель и k > 2 – многомерная).

В соответствии с (3.2) – (3.4) каждое значение показателя представляется как линейная комбинация

y_i = ₁ + ₂ x_2i + ₃ х_3i +…+ _kx_ki.+ _i, i = 1, 2, …, n. (3.5)

Детерминированная составляющая модели описывается уравнением плоскости (при k = 3) или гиперплоскости (k > 3). Поэтому построить график многомерной модели при k > 3 не представляется возможным.

Отсутствие геометрической интерпретации – не единственная сложность анализа многомерных моделей. В них часто утрачивается свойство очевидности, присущее простым моделям парной регрессии. Например, очевидно, что с увеличением детского возраста имеется положительная регрессия для роста и веса ребенка. При анализе, скажем, модели спроса, на который воздействуют факторы цены, рекламы, моды, сезона, марки производителя, качества и т.д., совершенно не очевидно, насколько может измениться спрос на товар при одновременном изменении двух и более факторов. Здесь следует полагаться не столько на опыт и интуицию, сколько на расчет, учитывающий множество закономерных связей с различным влиянием на результат. Такой инструментарий дает экономисту эконометрическая модель.

Как видно из выражений (3.1) – (3.5), анализ модели множественной регрессии усложняется по сравнению с двухмерной и требует знаний по линейной, в частности, матричной алгебре. Не следует, однако, считать, что в задачу экономиста будут входить громоздкие вычисления, связанные с моделированием. Сегодня с помощью встроенных функций электронных таблиц EXCEL или Mathcad на любом компьютере нетрудно решить многие задачи анализа, лишь корректно вводя данные и зная, какие показатели и свойства модели вы хотите получить. Кроме того, имеется множество эконометрических пакетов прикладных программ [1] c уже разработанными моделями, в которые лишь необходимо ввести данные и знать, какие результаты мы желаем получить. Для двухмерных моделей вычисление статистических показателей и регрессионных параметров можно быстро произвести и без компьютера, с помощью специализированных научных калькуляторов (к примеру, CASIO-fx-82TL с режимом SD для статистических расчетов и режимом REG – для вычисления параметров и характеристик линейных и нелинейных моделей).

Как и в предыдущей теме, рассмотрим последовательно задачи построения модели (определения оценок её параметров), определения ошибок моделирования и прогноза, корреляционного анализа и установления существенности связи между факторами и показателем.