5.3. Тест Дарбина-Уотсона на автокорреляцию

О наличии или отсутствии автокорреляции во временном ряде ограниченного объема n можно судить по остаткам регрессии е_i. Как обычно, задаются две альтернативные гипотезы: Н₀ – гипотеза об отсутствии автокорреляции ( = 0) с вероятностью Р; Н₁ – гипотеза о наличии автокорреляции (  0) с вероятностью 1 – Р.

Дарбин и Уотсон (Durbin-Watson) предложили оценивать наличие автокорреляции с помощью статистики

(5.11)

Её можно выразить следующим образом

(5.12)

Здесь нормировка функции (5.1) к сумме квадратов ошибок определяется как выборочный коэффициент автокорреляции первого порядка

(5.13)

При больших объемах выборки можно пренебречь последним слагаемым в (5.12) (его порядок – 2/n), тогда с учетом (5.13) статистика Дарбина-Уотсона

DW 2(1 – r). (5.14)

Область значений величины DW лежит в пределах от 0 до 4. При сильной положительной автокорреляции r → 1 и DW → 0. Напротив, при сильной отрицательной корреляции r → – 1 и DW → 4. Наконец, в отсутствии автокорреляции r = 0 и DW = 2.

На основе распределения величины DW и заданного уровня значимости (например, с вероятностью Р = 0,95) Дарбин и Уотсон рассчитали верхние и нижние границы критических значений статистики (5.11) d_u (upper – верхняя) и d_l (low – нижняя). Эти значения для известных Р, n и k табулированы (Приложение 5). При положительной автокорреляции область рассчитанных значений d_u < DW  2 отвечает гипотезе Н₀ (отсутствие автокорреляции с вероятностью Р), а область 0 < DW < d_l – гипотезе Н₁ (наличие автокорреляции). Промежуточные значения d_l < DW < d_u называют областью неопределенности (не принимается ни одна из гипотез). Тест Дарбина и Уотсона применим также и для случая отрицательной автокорреляции, которая наблюдается при частой смене знаков остатков регрессии e_i . В этом случае область 2  DW < 4 – d_u отвечает гипотезе Н₀ (отсутствие автокорреляции с вероятностью Р), область 4 – d_u < DW < 4 – d_l является областью неопределенности, и, наконец, область 4 – d_l < DW < 4 – гипотезе Н₁ (наличие автокорреляции). Перечисленные области представлены в таблице 5.1.

Таблица 5.1

DW:	(0, dl)	(dl , du)	(du, 4 – du)	(4 – du, 4 – dl)	(4 – dl, 0)
Нi:	Гипотеза Н1: есть автокорреляция	???	Гипотеза Н0: нет автокорреляции	???	Гипотеза Н1: есть автокорреляция

Пример 5.1. Оценим наличие автокорреляции для данных примера 4.3. Согласно расчетам, приведенным в таблице 4.3, имеем

Получили небольшую отрицательную автокорреляцию. Тогда

DW = 2(1 – r) = 2,4.

Из Приложения 5 для k = 4, n = 11 и P = 0,95 выписываем значения границ: d_l = 0,60, d_u = 1,93. Отсюда следует, что значение DW = 2,4 попадает в интервал [4 – 1,93, 4 – 0,6] = [2,07; 3,4]. Эта область, как видно из таблицы 5.1, является областью неопределенности. Таким образом, нельзя с определенностью (с вероятностью 0,95) утверждать ни о наличии, ни об отсутствии автокорреляции в данной модели.

Заметим, что выборочный коэффициент автокорреляции (5.13) r обычно используется как оценка параметра авторегрессионной модели. Его следует учитывать при коррекции оценок параметров модели за счет наличия автокорреляции (формулы (5.4), (5.8)). Для этого может использоваться рассмотренная в п.5.2 итерационная процедура Кохрейна-Оркотта.

Задачи

1. Данные о числе ДТП в области за 10 месяцев года приведены в таблице

№ месяца	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число ДТП	223	226	241	236	234	243	249	257	252	247

Построить линейный тренд (с МНК оценками параметров тренда), найти остатки регрессии тренда, коэффициент автокорреляции остатков и значение DW. C вероятностью 0,95 сделать заключение о наличии или отсутствии автокорреляции (на основе теста Дарбина-Уотсона).

2. Изменение курса доллара (приращение в коп.) за 7 дней недели характеризуется средними данными

№ дня	1	2	3	4	5	6	7
Приращение курса, коп.	1	1,4	2	1,8	1,4	0,5	0

Методом наименьших квадратов построить линейный тренд изменения курса доллара, найти остатки регрессии тренда, коэффициент автокорреляции остатков и значение DW-статистики. Протестировать модель на автокорреляцию с помощью процедуры Дарбина-Уотсона. Используя найденное значение r как первое приближение, найти ОМНК оценки параметров тренда и второе приближение для коэффициента автокорреляции r.