3.2. Определение оценок параметров млр через отклонения (уменьшение числа уравнений системы до k – 1)

В приведенном выше примере трехмерной модели наиболее трудоемкой задачей является вычисление обратной матрицы размерности [33]. При учебных расчетах вручную даже эта невысокая размерность матрицы требует громоздких и рутинных вычислений.

Можно достичь упрощения хода решения задачи оценки параметров модели уменьшением числа неизвестных b_i c k до k – 1 (т.е. до числа факторов). Из исходной системы уравнений для выборочных данных

y_i = b₁ + b₂x_2i + b₃x_3i +…+ b_k x_ki + е_i (3.13)

легко исключить постоянную составляющую b₁, если перейти к уравнениям для отклонений (центрированных величин). Действительно, суммируя по i уравнения (3.11) и усредняя сумму множителем 1/n, получим зависимость между средними значениями факторов и показателя

(3.14)

Отсюда следует, что точка со средними значениями факторов и показателя принадлежит гиперплоскости модели у^*(х₂, х₃,…, х_к). Вычитая равенство (3.14) из каждого уравнения (3.13), получим уравнения для отклонений

(3.15)

В матричной форме эта система имеет вид

,

где – усеченный (k – 1)-мерный вектор коэффициентов регрессии b₂ , b₃ ,…, b_k всех факторов;

,  – n-мерные векторы отклонений показателя и остатков регрессии, а матрица отклонений факторов

имеет размерность [(k – 1)  n].

Оценка МНК параметров модели, выраженная через отклонения, имеет аналогичный (3.9) вид

. (3.16)

Здесь квадратная матрица имеет размерность [(k – 1)  (k – 1)] вместо [k  k] в общем случае, что не только упрощает обращение матрицы, но и существенно снижает погрешности вычислений.

После определения с помощью выражения (3.16) коэффициентов регрессии согласно (3.14) находится постоянная составляющая модели

. (3.17)

Вернемся к примеру 3.1 построения трехмерной модели. Формула (3.16) позволяет вычислить параметры модели значительно проще, так как вместо системы трех уравнений достаточно решить систему двух уравнений. Для этого достаточно обратить матрицу размерности [22]. Запишем отклонения показателя и факторов в таблицу 3.2. Правый столбец таблицы суммирует величины в её строках.

Таблица 3.2

i	1	2	3	4	5	∑
yi	3	6	7	6	8	30
x2i	4	3	5	9	9	30

Продолжение таблицы 3.2

x3i	3	5	5	6	6	25
	–3	0	1	0	2	0
	–2	–3	–1	3	3	0
	–2	0	0	1	1	0
	9	0	1	0	4	14
ei	6/46	21/46	–39/46	52/46	–40/46	0
ei2	36/2116	441/2116	1521/2116	2704/2116	1600/2116	2,978

Определим входящие в (3.16) матрицы

,

Усеченный вектор параметров модели в соответствии с (3.16) равен

Таким образом, точные значения параметров b₂ = –7/46, b₃ = 73/46. Постоянную составляющую определяем c помощью (3.17)

Эти параметры совпадают с решением, полученным в примере 3.1. Приведенное здесь решение, как видим, проще, так как вместо обратной матрицы размерности [33] определяется обратная матрица [22]. Это делает более доступным (в частности, не требующим компьютера) расчет параметров трехмерной модели. Иногда (как в данном простом примере) можно даже получить точное решение в форме рациональных чисел.

Убедимся, что модель

y^* = (–47 –7x₂ + 73x₃)/46

построена правильно, и найдем точные значения остатков регрессии :

.

Как нетрудно убедиться, сумма ошибок равна 0, что частично подтверждает верность решения и определения параметров модели. Заметим, что нулевая сумма остатков регрессии является необходимым, но не достаточным условием построения модели согласно методу наименьших квадратов (см. (3.11), (3.12)). В качестве упражнения читателю предлагается рассчитать составляющие e_i х_ri, r = 2, 3, и проверить выполнение равенств (3.12).