4.2. Тестирование на мультиколлинеарность методом Феррара-Глобера

Этот метод включает два этапа: проверку на общую мультиколлинеарность и проверку на коллинеарность между отдельными парами факторов.

4.2.1. Проверка на общую мультиколлинеарность

Для нормальной МЛР на основе выборочных данных формируется статистика

²(N) = – [n – 1– (2k + 3)/6] ln(DetR_Х), (4.11)

отвечающая гипотезе об отсутствии мультиколлинеарности H₀. Чем ближе к нулю определитель корреляционной матрицы, тем больше рассчитанное значение ² и тем менее вероятна справедливость гипотезы H₀. Число степеней свободы N распределения ² равно числу всех коэффициентов корреляции между различными парами факторов или числу сочетаний

N = C²_{k –1} = (k – 1)(k – 2)/2. (4.12)

Например, для трехмерной модели с двумя факторами N = 1 (одна пара факторов), для четырёхмерной – N = 3 (3 пары) и т.д. ² –распределение, рис. 4.1, разбивается на две области, причем в области ² < ²_кр с доверительной вероятностью Р мультиколлинеарность отсутствует, тогда как в области ² > ²_кр она отсутствует с вероятностью 1 – Р или имеет место с вероятностью Р. Значения ²_кр табулированы (Приложение 3) с входными данными: доверительная вероятность Р (от 0,99 до 0,01) – определяет столбец таблицы; число степеней свободы N величины ²_кр – определяет строку таблицы.

Таким образом, проверка на общую мультиколлинеарность осуществляется в следующей последовательности:

1. Определяется корреляционная матрица R_Х факторов и её детерминант (определитель) DetR_Х.

2. По формуле (4.11) рассчитывается статистика ² выборки.

3. Для числа степеней свободы N (формула (4.12)) и принятой доверительной вероятности (например, Р = 0,95 ) по таблице критических точек ²-распределения (Приложение 3) определяется критическое (пороговое) значение ²_кр.

4. Если ² > ²_кр, то с вероятностью Р можно констатировать наличие мультиколлинеарности. В противном случае (² < ²_кр) c вероятностью Р она отсутствует.

Рис.4.1

Пример 4.2. Обратимся к данным примера 4.1 и проверим факторы на мультиколлинеарность. Определитель её корреляционной матрицы равен DetR_Х = 239/264, тогда с учетом k = 3 и (4.11)

² = (4 – 9/6)(ln264 – ln239) = 0,2487.

Примем доверительную вероятность Р = 0,99. Так как для 3-мерной модели k = 3, то N = 1 и по таблице (Приложение 3) находим ²_кр= 6,6. Так как ² < ²_кр, то c вероятностью Р = 0,99 мультиколлинеарность в данной модели отсутствует.

4.2.2. Проверка мультиколлинеарности между парами факторов

Для этого этапа используется информация, содержащаяся в матрице, обратной корреляционной

[Z] = [R_X]^–1. (4.13)

Её элементы, нормированные к элементам главной диагонали

, i, m = 2,3,…,k, (4.14)

называются частичными коэффициентами корреляции. По данным выборки определяется t-статистика (имеет распределение Стьюдента)

(4.15)

с (n – k) степенями свободы, отвечающая гипотезе H₀ об отсутствии мультиколлинеарности между i-м и m-м факторами. Чем больше абсолютное значение (4.15) (в частности, при  1), тем менее вероятно выполнение гипотезы Н₀. Для заданной доверительной вероятности Р и числа K = n – k степеней свободы t-статистики рассчитывается критическое значение t_кр, которое табулируется (Приложение 4). Если рассчитанное для выборки значение t_im t_кр, то с вероятностью Р между i-м и m-м факторами имеет место мультиколлинеарность. Область малых значений t_im < t_кр cоответствует вероятному (с вероятностью Р) отсутствию мультиколлинеарности. При установлении мультиколлинеарности один из коллинеарных факторов целесообразно устранить из модели.

Пример 4.3. Пусть выборочные данные зависимости показателя С_i от трех факторов D_i, S_i, L_i для 11 объектов (n = 11) сведены в таблицу 4.2. Необходимо построить четырехмерную МЛР, оценить существенность связи между показателем и факторами и протестировать модель на мультиколлинеарность.

Все расчеты удобно производить в электронной таблице EXCEL. С помощью встроенных функций ТРАНСП, МУМНОЖ, МОБР определяем вектор параметров модели

		-12,17425934		b0 = - 12,174
BT= (XT*X)-1*XT*Y =		1,011126032		b1 = 1,011
		0,599728902		b2 = 0,6
		0,15348523		b3= 0,153

Таблица 4.2

	Y = Сi		Х1	X2 = Di	X3 = Si	X4 = Li
	8,35		1	12,21	10,15	19,15
	14,34		1	16,67	11,78	21,78
	19,37		1	17,11	12,67	23,16
	21,85		1	20,39	13,21	32,77
Y =	24,88	X =	1	22,68	14,65	34,65
	27,68		1	24,17	16,41	37,11
	30,19		1	25,57	18,47	38,44
	34,86		1	27,78	20,11	39,11
	39,04		1	28,85	22,77	41,64
	41,67		1	30,15	25,02	45,02
	44,57		1	33,97	28,12	46,37
∑ ═	306,8			259,55	193,36	379,2
Средние =	27,89091		0	23,59545	17,57818	34,4727

Для этого можно также использовать функцию „ЛИНЕЙН”, которая выводит строку параметров в инверсном порядке. Уравнение МЛР имеет вид

Y^* = C^* = 1,011D + 0,6S + 0,153L – 12,174.

Для расчета остатков регрессии и коэффициента детерминации строим таблицу 4.3.

Второй столбец таблицы можно получить с помощью функции „ТЕНДЕНЦИЯ”. Коэффициенты детерминации и корреляции равны

R² = 1 – (19,39/1310,5) = 0,985,

R = 0,992.

Оценим существенность связи между показателем С и факторами с помощью критерия Фишера. Поскольку k = 4 – размерность модели, то k₁ = k – 1 = 3, k₂ = n – k = 7, P = 0,95, тогда с помощью таблицы Фишера (Приложение 1) получим критическое значение коэффициента детерминации

R²_кр = 0,651.

Так как R² > R²_кр, то с вероятностью 0,95 связь существенна.

Таблица 4.3

Ci	Ci*	ei = (Ci*-Ci)	ei 2	Ci-Ccр	(Ci-Ccр)2	ei*ei-1
8,85	10,08025	1,230250095	1,513515296	-18,3107	335,283562
14,84	15,9711	1,131096461	1,279379205	-12,4199	154,254004	1,3915315
19,87	17,16156	-2,708439745	7,33564585	-11,2294	126,100317	-3,063507
22,35	22,2769	-0,073099695	0,005343565	-6,1141	37,3822151	0,1979861
25,38	25,74454	0,364540768	0,132889972	-2,64646	7,00374646	-0,026648
28,18	28,68422	0,504215089	0,254232856	0,293215	0,08597509	0,183807
30,69	31,53937	0,849368427	0,721426726	3,148368	9,91222375	0,4282644
35,36	34,86035	-0,499652539	0,24965266	6,469347	41,8524566	-0,424389
39,54	37,83589	-1,704110509	2,903992627	9,444889	89,2059375	0,8514631
42,17	41,10848	-1,061517226	1,126818821	12,71748	161,734368	1,8089427
45,07	47,03735	1,967348873	3,870461587	18,64635	347,686326	-2,088375
∑		-1,59872E-14	19,39335916	-0,001	1310,50113	-3,898802

Для проверки мультиколлинеарности найдем корреляционную матрицу факторов. Для этого сначала находим матрицу отклонений, представленную в таблице 4.4 (транспонированная матрица). Далее рассчитаем согласно (4.1) и сумм квадратов отклонений в таблице 4.4 делители строк матрицы отклонений

S₂ = 20,75349,

S₃ = 18,50886,

S₄ = 29,58308.

Таблица 4.4

	-11,386	-7,4282	-15,3227		381,84716		129,6286	55,1779	234,7860
	-6,9255	-5,7982	-12,6927		183,62716		47,9619	33,6189	161,1053
	-6,4855	-4,9082	-11,3127		72,60591		42,0611	24,0902	127,9778
	-3,2055	-4,3682	-1,70273		36,49259		10,2749	19,0809	2,8993
=	-0,9155	-2,9282	0,17727		9,06558		0,8381	8,5742	0,0314
	0,57455	-1,1682	2,63727		0,04448		0,3301	1,3646	6,9552
	1,97455	0,8918	3,96727		5,28582		3,8988	0,7953	15,7393
	4,18455	2,5318	4,63727		48,56822		17,5104	6,4101	21,5043
	5,25455	5,1918	7,16727		124,30221		27,6102	26,9550	51,3698
	6,55455	7,4418	10,54727		189,86332		42,9621	55,3807	111,2451
	10,3746	10,5418	11,89727		278,19204		107,6311	111,1299	141,5451
	-5E-08	2E-05	-3E-07		1329,8945		430,70747	342,57796	875,1584
	-4,5E-09	1,82E-06	-2,73E-08		120,8995		39,15523	31,14345	79,5599

Тогда транспонированная матрица отклонений в стандартизованном виде в соответствии с (4.3) имеет вид

	-0,54860433	-0,40133	0,51795578
	-0,33370072	-0,31327	0,42905361
	-0,31249947	-0,26518	0,38240532
	-0,15445376	-0,236	0,05755747
=	-0,04411087	-0,1582	0,00599237
	0,027684281	-0,06311	0,08914801
	0,095142815	0,048183	0,13410614
	0,201630928	0,13679	0,15675422
	0,253188522	0,280505	0,24227608
	0,315828588	0,402068	0,35653058
	0,499894015	0,569555	0,40216477

Корреляционная матрица факторов согласно (4.7) равна:

	1	0,964148	0,977273
= RХ =	0,964148	1	0,918963
	0,977273	0,918963	1

Её детерминант и логарифм детерминанта равны:

detR_Х = 0,00262284, ln(detR_Х) = 5,943498

Согласно методу Феррара-Глобера

χ²(N) = – [n – 1 – (2k – 3)/6]·ln(detR_Х) = 48,54.

Число степеней свободы N = (k – 1)(k – 2)/2 = 3. Критическое значение χ² доверительной вероятности Р = 0,99 получим из таблицы (Приложение 3) χ²_кр (N = 3) = 11,3.

Таким образом, поскольку χ² > χ²_кр, с вероятностью 0,99 мультиколлинеарность имеет место. Действительно, факторы сильно коррелируют между собой (r₂₃ = 0,964, r₃₄ = 0,977), что свидетельствует о почти линейной зависимости между факторами. Очевидным признаком мультиколлинеарности является также очень малое значение определителя матрицы R_Х : detR_Х = 0,0026. В данной модели любые два фактора из трех требуют замены на другие.

Задачи

1. Доходы фирмы Y (тыс. грн.) в зависимости от числа работников Х₁ (чел.) и объема производства Х₂ (у.е.) определяется выборочными данными:

Y, тыс. грн.	2	2	5	5	6
Х1, чел.	15	18	17	18	22
Х2, тыс.грн.	15	20	20	35	35

Определить корреляционную матрицу факторов, оценить модель на общую мультиколлинеарность методом Феррара-Глобера (доверительная вероятность 95%).

2. Дана выборка объема n = 25 с двумя факторами Х₂ и Х₃ и определены значения

,

Построить уравнение модели, оценить модель на общую мультиколлинеарность методом Феррара-Глобера (доверительная вероятность 95%).