Контрольные вопросы

1. Как Вы понимаете линейную зависимость и линейную независимость между m случайными величинами (между m векторами)?

2. Что такое «строгая мультиколлинеарность»? Для каких моделей возникает свойство мультиколлинеарности (нестрогой)? В чем недостаток модели, обладающей этим свойством? Что следует предпринять, чтобы устранить мультиколлинеарность?

3. Как получить матрицу факторов в стандартизованном виде? Как выражаются элементы этой матрицы?

4. Как определяется корреляционная матрица R_Х факторов на основе выборочных данных? Какова её размерность? Имеют ли её элементы размерность? Какие ограничения накладываются на её элементы r_ii и r_ik (i  k)?

5. Какие признаки мультиколлинеарности несет в себе корреляционная матрица факторов?

6. Запишите выражение для МНК оценок параметров модели линейной регрессии в стандартизованном виде. Чем удобна эта форма решения для коэффициентов модели?

7. В чем суть статистической проверки гипотезы о наличии мультиколлинеарности методом Феррара-Глобера?

1. Чем отличаются процедуры тестирования модели на общую мультиколлинеарность и коллинеарность между парами факторов?

5. Автокорреляция

В предыдущих главах построение и анализ моделей линейной регрессии проводились в предположении, что выполняются принятые гипотезы 2.4.1 (при парной регрессии) или 3.3.1 (при множественной регрессии). На практике, однако, часто возникают условия, противоречащие гипотезам 2 (гомоскедастичности) и 3 (некоррелированности ошибок моделирования). В частности, при моделировании временных рядов (или рядов динамики), где одной из независимых переменных является время, предыдущие и последующие значения показателя (y_{i – 1} и y_i соответственно) имеют, как правило, положительную автокорреляцию 1-го порядка. Это явление иллюстрируется с помощью рис. 5.1, на котором линейный по времени тренд y_i^*, i = 1, 2, …, n, (скажем, изменение курса доллара за n дней) отличается от выборочных данных y_i на величины е_i, которые имеют тенденцию к группированию знаков.

Рис.5.1

Нетрудно видеть, что свертка

K_e (1) = > 0, (5.1)

так как смежные значения остатков регрессии редко меняют знак (на рисунке – лишь один раз). При этом согласно методу наименьших квадратов , то есть случайный процесс e_i как функция времени центрирован (имеет нулевое среднее значение). При произвольном сдвиге m между временными отсчётами получим автокорреляционную функцию остатков

K_e(m) = . (5.2)

Отсюда видно, что свертка (5.1) является частным случаем автокорреляции (5.2) m-го порядка (при m = 1).

Наличие ненулевой корреляции между ошибками модели нарушает гипотезу 3 в п. 3.3.1 анализа ошибок. В более общем случае гипотезы 2, 3 спецификации модели заменяются следующими условиями:

2. М[_i] = 0, M[_i_k] = _ik, i, k = 1, 2,…, n. (5.3)

Матрица  называется корреляционной матрицей ошибок. Из определения ясно, что она является симметричной матрицей (_ik = _ki). Её диагональные элементы _ii = _i². Если они различны для разных i (_i²  const), то имеет место явление гетероскедастичности.

Классический метод наименьших квадратов применяется в условиях гомоскедастичности и некоррелированности ошибок, когда корреляционная матрица ошибок  = ²I (I – единичная матрица размерности n  n). При произвольной симметричной матрице  для получения несмещенных и эффективных (наиболее точных) оценок параметров модели приходится использовать обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК).