6.3. Обзор двухпараметрических нелинейных моделей парной регрессии

Как отмечалось, линеаризация при парной регрессии возможна лишь для моделей с двумя параметрами, при этом для замены переменных (как фактора, так и показателя) можно использовать весь известный набор элементарных функций f(x). Как показано в предыдущем параграфе, дополнительные преимущества можно получить смещением независимой переменной х на известную величину х₀, тогда спецификация двухпараметрической модели примет вид

y_i = ₀ + ₁ f(x_i – x₀) + _i, i = 1, 2,…,n, (6.17)

где ошибки _i, и значения показателя у_i являются случайными величинами. Заменой переменной

z = f(x – x₀) (6.18)

нелинейная модель сводится к линейной

y_i = ₀ + ₁ z + _i, i = 1, 2,…, n,

оценки параметров которой определяются аналогично (6.13), (6.14)

(6.19)

(6.20)

Эти оценки имеют все свойства МНК оценок, справедливые для линейной модели (несмещенность, состоятельность и эффективность). Рассмотрим примеры.

Экспоненциальная модель

Экспоненциальная функция f(x) = с^x определена для положительного основания с > 0 и имеет вид монотонно нарастающей (с >1) или монотонно убывающей (с < 1) экспоненты, рис.6.3. При смещении график f(x – х₀) = с^{х – х0} сдвигается вправо (х₀ > 0) или влево (х₀ < 0) на величину х₀. В точке х = х₀ значение экспоненты с⁰ = 1. В качестве аргумента используются безразмерные (относительные) величины.

Параметры модели оцениваются согласно (6.19), (6.20).

Чаще всего убывающая экспоненциальная модель (c < 1) используется в области положительных значений аргумента, т.е. при х > x₀, причем она хорошо описывает тренды роста или падения, переходящие плавно к стабилизации (постоянству показателя: у  а). Примерами могут быть уровни инфляции и роста ВВП (валового внутреннего продукта) страны за годы от кризиса до относительной стабилизации. В микроэкономике расходы фирм при становлении обычно велики и постепенно стабилизируются за некоторый период времени.

Часто при описании процессов с тенденцией к стабилизации в качестве основания экспоненты используется с = е^-1, где е = 2,718281828 – основание натурального логарифма. Тогда модель имеет вид

(6.21)

В частности, у^*(х₀) = a + b, а в области стабилизации (х >> x₀) у^*→ a.

Рис.6.3

Скорость изменения показателя определяется производной

Следовательно, экспоненциальная модель (6.21) является возрастающей функцией при отрицательных b < 0 и убывающей – при b > 0, причем скорость её изменения непрерывно уменьшается и стремится к 0. На рис.6.4 показаны характерные графики убывающих и нарастающих экспоненциальных моделей (6.21). Их применение оправдывается в случаях непрерывного снижения скорости изменения показателя при нарастании фактора (например, времени в относительных единицах).

Более универсальной может оказаться экспоненциальная модель вида

y^* = ce^bx. (6.22)

В зависимости от знака коэффициента b она описывает нарастающий по скорости тренд (b > 0) или убывающий (b < 0).

Логарифмируя равенство (6.22), получим

lny^* = lnc + bx.

Рис.6.4

Линеаризация модели сводится к заменам переменных

u^* = lny^*, a = lnc, b = b,

после чего приходим к стандартной линейной модели парной регрессии u^* = a + bx. Согласно (6.19), (6.20) оценки параметров линейной модели

(6.23)

(6.24)

Определив оценки a и b, следует возвратиться к нелинейной модели y^* = ce^bx , y^*= e^u*, с = e^а.

Параметры модели (6.22) и её график можно получить в EXCEL с помощью команд «ДИАГРАММА – Точечная – Добавить линию тренда – Экспоненциальная». Эта же модель запрограммирована на калькуляторе CASIO «fx-82TL» в режиме REG.

Пример 6.3. Пусть доходы фирм y_i (в у.е.) в зависимости от инвестиций в технологию х_i (в у.е.) описываются выборкой, приведенной в таблице 6.3. Необходимо найти оценки МНК параметров модели типа (6.22), построить график модели и оценить функционал ошибок.

Таблица 6.3

xi ( у.е.)	yi ( у.е.)	lnyi	xi lnyi	xi2	lnyi – bxi
10	11	2,397895	23,97895	100	1,228425
12	12	2,484907	29,81888	144	1,081543
13	15	2,70805	35,20465	169	1,187739
15	18	2,890372	43,35558	225	1,136167
16	20	2,995732	47,93172	256	1,12458
19	26	3,258097	61,90383	361	1,036104
20	38	3,637586	72,75172	400	1,298646
∑= 105	140	20,37264	314,9453	1655	8,093204

В таблице 6.3 приведены все необходимые расчеты сумм (последняя строка – сумматор по столбцам таблицы) для вычисления параметров (6.23), (6.24) модели. По этим формулам находим

a = 8,093204/7 = 1,156172,

тогда

с = e^а = 3,177746.

Уравнение (6.22) с учетом этих значений принимает вид

у^* = 3,177746 е ^0,116946х.

Эта экспонента вместе с выборочными точками изображена на рис.6.5. Она получена в EXCEL после выбора типа тренда «Экспоненциальная». Проведем анализ ошибок модели (остатков регрессии), которые, как видно из графика, нарастают с ростом х.

Рис.6.5

Характерным свойством нелинейных моделей, построенных методом линеаризации, является то, что сумма остатков регрессии не обязательно равна 0, как это имеет место в линейных моделях. Проиллюстрируем это расчетами, приведенными в таблице 6.4.

Для линейной модели, как следует из расчетов в последнем столбце таблицы, сумма остатков регрессии практически равна 0 (она имеет порядок 10 ^–7 из-за погрешностей вычислений). Для экспоненциальной модели (второй столбец таблицы 6.4) получили ∑E_i = –1,02653, что дает относительную погрешность около 1/139, близкую 1%. Это связано с нелинейной зависимостью у^*(х), которая нелинейно преобразует остатки регрессии E_i по отношению к остаткам e_i для линейной модели. В результате функционал ошибок (третий столбец таблицы) довольно значителен: F = 38,68.

Таблица 6.4

yi* = cebxi	Ei = yi* – yi	Ei2	ui* = a + bxi	ei = ui* – ui
10,23325	–0,76675	0,587912	2,325642	–0,07225
12,92981	0,929814	0,864555	2,559536	0,074629
14,53389	–0,46611	0,217263	2,676483	–0,03157
18,36372	0,363717	0,13229	2,910377	0,020005
20,64192	0,641917	0,412058	3,027324	0,031592
29,31692	3,31692	11,00196	3,378165	0,120068
32,95397	–5,04603	25,46239	3,495112	–0,14247
∑= 138,9735	–1,02653	38,67843	20,37264	1,47*10-7