- •Эконометрика
- •Введение
- •1. Модели статистической взаимосвязи
- •1.1. Типы взаимосвязи между явлениями
- •1.2. Типы данных
- •1.3. Типы моделей
- •Контрольные вопросы
- •2. Двухмерная модель линейной регрессии
- •2.1. Определение параметров млр. Метод наименьших квадратов
- •2.2. Матричная форма записи при определении параметров млр
- •2.3. Корреляционный анализ млр
- •2.4. Оценка ошибок моделирования
- •2.4.1. Основные условия (гипотезы) анализа ошибок
- •2.4.2. Ошибки оценок параметров модели
- •2.4.3. Оптимальность оценок мнк Теорема Гаусса-Маркова.
- •2.4.4. Оценка прогноза показателя и ошибок прогнозирования
- •2.5. Установление существенности связи на основе теории статистической проверки гипотез
- •2.5.1. Распределения случайных величин Нормальное распределение (Гаусса)
- •Распределение Пирсона (2-распределение)
- •Распределение Фишера
- •Распределение Стьюдента (t-распределение)
- •Статистическая проверка гипотез
- •Контрольные вопросы
- •3. Многомерная модель линейной регрессии
- •3.1. Определение параметров модели методом наименьших квадратов
- •3.2. Определение оценок параметров млр через отклонения (уменьшение числа уравнений системы до k – 1)
- •3.3. Статистические свойства оценок параметров млр
- •3.3.1. Условия анализа
- •3.3.2. Среднеквадратичные ошибки оценок параметров млр
- •3.3.3. Ошибки прогнозирования
- •3.4. Коэффициент детерминации многомерной млр
- •3.5. Определение существенности статистической связи между факторами и показателем
- •Контрольные вопросы
- •4. Мультиколлинеарность
- •4.1. Выражение для оценки параметров млр в стандартизованной форме
- •4.2. Тестирование на мультиколлинеарность методом Феррара-Глобера
- •4.2.1. Проверка на общую мультиколлинеарность
- •4.2.2. Проверка мультиколлинеарности между парами факторов
- •Контрольные вопросы
- •5. Автокорреляция
- •5.1. Обобщенный метод наименьших квадратов
- •5.2. Авторегрессионый процесс первого порядка
- •5.3. Тест Дарбина-Уотсона на автокорреляцию
- •Контрольные вопросы
- •6. Двухмерная модель нелинейной регрессии
- •6.1. Трехпараметрическая парабола
- •6.2. Двухпараметрическая парабола
- •6.3. Обзор двухпараметрических нелинейных моделей парной регрессии
- •Экспоненциальная модель
- •Логарифмическая модель
- •Гиперболическая модель
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 3
- •Приложение 4
- •Приложение 5
Контрольные вопросы
1. Как описываются выборочные данные показателя и факторов при множественной регрессии с помощью векторов и матриц?
2. Запишите выражение для вектора оценок параметров многомерной МЛР в матричной форме, полученное с помощью метода наименьших квадратов.
3. Запишите выражения для определения оценок параметров многомерной МЛР через отклонения. Какие преимущества имеет этот метод определения оценок параметров модели?
4. Как определяется число степеней свободы модели? В каком случае все остатки регрессии ei равны 0?
5. Что такое обратная матрица (ХХ)-1? Какое условие обратимости матрицы? Когда (при каких выборочных данных) уравнение для вектора оценок параметров многомерной МЛР не имеет решения?
6. С помощью каких встроенных функции EXCEL можно после ввода выборочных данных:
1) найти оценки параметров многомерной МЛР?
2) найти средние значения показателя в выборочных точках или в точке прогноза?
7. Как можно определить ошибки модели (остатки регрессии еi) во всех выборочных точках факторов? Какие условия для них накладывает метод наименьших квадратов?
8. Как определяется оценка дисперсии ошибок модели s2? От чего она зависит? Может ли она равняться 0 (если да, то в каких случаях)? Какие меры можно предпринять для повышения точности моделирования?
9. Как определяются оценки дисперсий ошибок параметров bi модели? Как найти точечные и интервальные ошибки оценок параметров модели? Как оценить относительную ошибку в определении параметра модели? Чем определяется взаимное влияние различных факторов друг на друга? Что означает отрицательная взаимная корреляция двух факторов?
10. Дайте определение коэффициента детерминации и коэффициента корреляции многомерной МЛР. Какие особенности возникают для этих коэффициентов по сравнению со случаем парной регрессии?
11. Как определяется скорректированный коэффициент детерминации многомерной МЛР? Для чего он вводится?
12. Как найти среднее значение прогноза показателя в точке прогноза, точечную и интервальную ошибки этого прогноза? От чего зависят ошибки прогнозирования показателя? Можно ли их снизить и каким образом?
13. Что мы называем критическим значением F-статистики? От чего оно зависит и почему? Что такое коэффициент значимости?
Как определяется существенность связи между показателем и факторами для многомерной МЛР? В чем различия по сравнению с парной регрессией?
4. Мультиколлинеарность
Не всякая построенная с использованием метода наименьших квадратов модель может оказаться достаточно пригодной для использования в задачах прогноза и анализа. В зависимости от выбранных факторов некоторые модели становятся весьма чувствительными к малым изменениям данных, при этом параметры модели, результаты прогноза и ошибки могут изменяться существенно даже при незначительных колебаниях данных. Разумеется, этот недостаток модели следует обнаружить и устранить.
Вектор оценок параметров модели, как следует из (3.9), определяется с помощью обратной матрицы (ХХ)-1. В основе МНК лежит предположение, что эта матрица существует (т.е. матрица ХХ обратима). Строго говоря, матрица ХХ имеет обратную, если все строки Хi матрицы Х факторов линейно независимы: ни одна из строк не может быть представлена линейной комбинацией других строк или
с1 Х1 + с2 Х2 + с3 Х3 +…+ сk Хk 0,
где хотя бы пара коэффициентов сi не равна 0. В простейшем случае строгая линейная зависимость возникает, если для пары строк имеет место функциональная связь Хi = сХm, c – константа, i m. К примеру, Х1 – число акций пакета с номиналом с, Х2 = сХ1 – общая стоимость пакета (по номиналу). Может также оказаться, например, что Х4 = Х2 + Х3 (Х2 – семейные расходы на питание, Х3 – прочие расходы, Х4 – общие расходы). Ясно, что один из факторов при этом оказывается лишним, определитель матрицы ХХ
Det[ХХ ] = 0,
и матрица является вырожденной (сингулярной). При пропорциональной связи между парой факторов говорят об их строгой коллинеарности, а в более общем случае – о строгой мультиколлинеарности. Коэффициент корреляции между коллинеарными факторами равен 1 или –1. Очевидно, один из пары коллинеарных факторов следует исключить из модели, чтобы матрица ХХ стала невырожденной и система уравнений для параметров модели имела решение.
Практически строгая линейная зависимость между выбранными факторами появляется редко и легко выявляется. Более сложная ситуация возникает при нестрогой мультиколлинеарности, когда определитель Det[ХХ] является сравнительно малой величиной. Поскольку элементы обратной матрицы (ХХ)–1 обратно пропорциональны этому определителю, параметры (4.9) модели становятся чувствительными к малым изменениям данных. В этом случае отдельные пары факторов, как правило, сильно “коррелируют” (их коэффициент взаимной корреляции близок к 1 или – 1). Методами статистической проверки гипотез можно получить обоснованный ответ на вопрос о наличии нестрогой мультиколлинеарности (или просто мультиколлинеарности) в построенной модели и рекомендации по её устранению. Наиболее информативной при этом анализе оказывается корреляционная матрица факторов R, которую мы определим в следующем параграфе.