2.9. Основное уравнения равновесия жидкости в поле земного тяготения. Закон Паскаля

Воспользуемся основным дифференциальным уравнением гид­ро­статики (2.21):

.

Учитывая, что при действии силы тяжести на выделенный объем жидкости X = 0; Y = 0; Z = –g, получим

(2.28)

или

.

Принимая  = const для несжимаемой жидкости, после интегри­ро­вания получим

. (2.29)

Постоянную интегрирования найдем из граничных условий. Для свободной поверхности жидкости (рис. 2.6) имеем:

.

где р0 –

давление на свободной поверхности жидкости, обычно р0 = ратм.

Рис. 2.6

Следовательно

. (2.30)

Решая совместно уравнения (2.29) и (2.30), получаем

. (2.31)

Уравнение (2.31) называется основным уравнением равновесия жидкости в поле тяготения.

Обычно уравнение (2.31) записывается в форме

. (2.32)

В уравнении (2.31) g представляет собой силу, с которой поле земного тяготения действует на массу жидкости в объеме 1 м³, т.е. представляет собой вес, отнесенный к единице объема.

Слагаемые уравнения (2.31) выражены в единицах длины.

Так, z и z₀ представляют собой высоту расположения точек над координатной плоскостью (yOx).

Другие составляющие уравнения (2.31) по своему физическому смыслу отличаются от высот z и z₀, так как они зависят от р (при  = const) и называются высотами гидростатического давления.

Величина Н = z + постоянная для всех частиц жидкости, т.к. является координатой некоторой горизонтальной плоскости (xOy). Она расположена выше плоскости свободной поверхности жидкости на величину h:

. (2.33)

Из уравнения (2.31) получим:

. (2.34)

Величина h представляет собой глубину погружения данной точ­ки под уровень свободной поверхности жидкости (см. рис. 2.6).

Разность давлений р – р₀ представляет собой избыточное дав­ле­ние р_изб:

, (2.35)

где р –полное или абсолютное давление;

р0 –давление на свободной поверхности жидкости:

.

Соотношение между указанными выше давлениями можно пред­ставить в виде схемы (рис. 2.7).

Рис. 2.7

Абсолютное давление всегда положительная величина:

. (2.36)

Здесь р₀ = р_атм на свободной поверхности жидкости.

Если р₀ < р_атм, то

. (2.37)

Рассмотрим жидкость, покоящуюся в открытом резервуаре (рис. 2.8).

Рис. 2.8

Пусть требуется определить давление в точке А на уровне z.

Применим основное уравнение равновесия (2.31) к точке А и к точке В, расположенным на свободной поверхности жидкости на уровне z₀.

Из уравнения (2.31) имеем

.

Отсюда

, (2.38)

где z0 – z = h –глубина погружения точки А под свободной по­верхностью.

Тогда . (2.39)

Величину рh называют весовым давлением, так как оно об­ус­ловлено влиянием весомости самой жидкости, нахо­дя­щейся под си­ловым воздействием поля тяготения.

Согласно структуре формулы это давление избыточное, т.к. p₀ – давление на свободной поверхности покоящейся жидкости.

Рассмотрим графическое представление и энергетическую сущ­ность основного уравнения гидростатики.

Г рафическое изображение абсолютного и избыточного давления представлено на рис. 2.9 в координатах z и .

Рис. 2.9

Треугольником OAB выражает закон изменения абсолютного давления, а два треугольника с общей вершиной в точке G символи­зируют закон изменения избыточного давления.

Причем нижний треугольник BGE выражает , а верхний .

При условии, что отрицательное избыточное давление называют вакуумом, а – вакууметрической высотой.

Очевидно, что максимальное значение вакуума устанавливается на высоте H^, где абсолютное давление равно нулю.

Энергетическую сущность основного уравнения гидростатики лег­ко представить, если выразить его в единицах работы (или энер­гии).

Для этого следует умножить уравнение на единицу, придавая ей размерность силы (1Н), тогда все члены уравнения будут выражены в единицах энергии (работы), т.е. в Дж.

Так как жидкость находится в равновесии, то она обладает только потенциальной энергией.

В нашем случае имеем:

, Дж – потенциальная энергия, определяемая гидроста­ти­ческим давлением;

z, Дж –энергия положения (данная масса жидкости рас­­по­ло­жена на высоте z от плоскости срав­нения);

H = ( +z), Дж –полный запас потенциальной энергии.

(Отнесенный к массе, вес которой равен 1Н, т.е. к массе

).

Из основного уравнения равновесия (2.32)

видно, что при изменении внешнего давления р₀ на давление во всех точках данной жидкости, находящейся в рав­но­весии, изменится на то же значение р₀.

Таким образом, жидкость обладает свойством передавать дав­ление.

Это свойство жидкости положено в основу закона Паскаля, ко­торый формулируется cледующим образом: давление, которое воз­ни­кает на граничной поверхности жидкости, находящейся в равно­весии, передается всем частицам этой жидкости по всем направ­лениям без изменения передаваемого давления.

На законе Паскаля основан принцип действия различных гид­рав­лических устройств, с помощью которых давление передается на расстояние.

К таким устройствам относятся: гидравлические прессы, гид­ро­подъемники, гидродомкраты, гидравлические аккумуляторы, гид­равлические тормозные системы, гидромультипликаторы и др.

В качестве примера рассмотрим работу гидравлического пресса.

Гидравлический пресс применяют для получения больших сжи­мающих усилий, что необходимо, например, для деформации ме­тал­лов при обработке давлением (прессование, ковка, штамповка), при испытании различных материалов, уплотнении рыхлых мате­риалов, в технологических процессах по обезвоживанию осадков и т.д.

Принципиальная схема пресса представлена на рис 2.10.

Рис. 2.10

К поршню площадью F приложена сила Р₁, которая передается жидкости, создавая давление р₁:

.

По закону Паскаля давление передается на поршень площадью F₂, создавая полезную силу, под действием которой прессуется материал:

.

Следовательно

(2.40)

или

. (2.41)

Из формулы (2.41) видно, что отношение усилий на малом и большом поршнях пропорционально квадрату отношения диаметров поршней.

Например, если диаметр большого поршня в десять раз больше диаметра малого поршня, то полезное усилие на большом поршне будет в 100 раз больше, чем на малом.