Примеры

Пример 1. Определить усилие, которое развивает гидрав­ли­чес­кий пресс, имеющий d₂ = 250 мм, d₁ = 25 мм, a = 1м и b = 0,1м, если усилие, приложенное к рукоятке рычага рабочим, N = 200 H, а КПД равен 0,8.

Решение: Сила P₂ определяется по формуле

кН.

Пример 2. Гидромультипликатор (рис 2.11) служит для повыше­ния давления р₁, передаваемого насосом или аккумулятором давле­ния.

Определить давление р₂ при следующих данных: G = 300 кг, D = 125 мм, р₁ = 10 кг/см², d = 50 мм. Силами трения в уплотне­ни­ях пренебречь.

Рис 2.11

Решение: Из условия равновесия цилиндра 2 имеем

.

Отсюда

.

Пример 3. Определить h_вак и построить эпюры вакуумет­ричес­кого и абсолютного давлений на стенку водяного вакууметра, если р_абс = 0,8510⁵ Па, а в нижнем резервуаре вода.

Решение:

м.

Эпюры вакууметрического и абсолютного давлений построены на рис. 2.12.

Рис. 2.12

Пример 4. Определить показания жидкостного манометра, при­соединенного к резервуару с водой, на глубине h = 1 м, если по по­ка­-заниям пружинного манометра давление р_м = 0,2510⁵ Па (рис. 2.13).

Рис. 2.13

Решение: Так как пружинный манометр показывает 0,2510⁵ Па, то

Па.

В сечении 1-1 р_л = р_п, но при этом

.

Отсюда

или

;

отсюда

м.

Контрольные вопросы

1. Что называется поверхностью уровня (поверхностью равного давления)?

2. Перечислите свойства поверхности уровня.

3. Что представляет собой поверхность уровня в поле сил тяго­тения?

4. Раскрыть физический смысл членов, входящих в основное дифференциальное уравнение гидростатики.

5. Раскрыть физический смысл членов, входящих в основное интегральное уравнение равновесия.

6. Что называется полным (абсолютным) давлением (показать схематически)?

7. Что называется избыточным давлением и вакуумом?

8. Что называется пьезометрическим и гидростатическим напо­ром?

9. Раскрыть энергетическую сущность основного уравнения гид­ро­статики.

10. Сформулируйте закон Паскаля.

11. Какие гидравлические устройства основаны на законе Пас­каля?

2.10. Относительное равновесие жидкости в поле сил тяготения

Относительным равновесием жидкости называется такое со­сто­яние, при котором каждая ее частица сохраняет свое положение от­носительно твердой стенки движущегося сосуда.

При относительном равновесии надо решить две задачи.

1. Определить форму поверхности уровня.

2. Установить характер распределения давления.

Решение этих задач основано на дифференциальных уравнениях равновесия (2.21) и (2.25).

При относительном равновесии следует учитывать силы инерции, дополняющие систему массовых сил, действующих в жидкости, находящейся в состоянии абсолютного покоя.

Рассмотрим некоторые частные случаи такого равновесия.

1-й случай. Равноускоренное движение по вертикали. Вначале определим форму поверхности уровня.

Имеем общее дифференциальное уравнение:

.

При равноускоренном движении по вертикали внешними объем­ными силами будут сила тяжести и сила инерции (рис. 2.14).

Рис. 2.14

Их проекции или проекции ускорений X = 0; Y = 0; Z = (–g  j) (при спуске (+j) и при подъеме (–j)).

Уравнение поверхности уровня имеет вид

. (2.42)

Отсюда следует, что если g  j, то dz = 0, а потому

. (2.43)

Выражение (2.43) представляет собой уравнение семейства гори­зон­тальных плоскостей, как при подъеме, так и при спуске поверх­ности уровня.

Гидростатическое давление изменяется только по высоте.

Если g = j, то в уравнении (2.42) (–g+j) = 0, а потому dz может равняться нулю. Если dz  0, то поверхность уровня может иметь любую форму (рис. 2.15), z  const.

Рис. 2.15

Закон распределения давления находим из основного диффе­ренциального уравнения (2.21):

.

С учетом того, что X = 0; Y = 0; Z = (–g  j), уравнение (2.44) преобразуется к виду:

. (2.44)

При равноускоренном движении (спуске) (–g+j) можно записать

, (2.45)

а при равноускоренном подъеме (–g – j)

. (2.46)

Из уравнений (2.45) и (2.46) следует, что связь между p и z ли­нейная, как и при абсолютном равновесии.

Анализ уравнений (2.45) и (2.46) показывает, что произведение можно рассматривать как условный вес, отнесенный к единице объема жидкости. Обозначим его ^, тогда при спуске и при j < g, жидкость оказывается как бы более лег­кой, а при j = g получим и, следовательно, ^ = 0, по­это­му жид­кость стала невесомой (см. рис. 2.15).

При равноускоренном подъеме , т.е. жид­кость становится как бы тяжелее.

2 -й случай. Вращательное движение относительно вертикальной оси (рис. 2.16).

Рис. 2.16

Определим форму свободной поверхности и закон распре­де­ления давления.

Допустим, что жидкость в цилиндрическом сосуде вращается относительно оси z с постоянной угловой скоростью . Определим форму свободной поверхности из общего дифференциального урав­нения поверхности уровня:

. (2.47)

С учетом осесимметричности движения относительно оси oz уравнение (2.47) можно записать в цилиндрических координатах:

, (2.48)

где Z = –g – ускорение свободного падения;

R – проекция ускорения центробежной силы, равного

,

здесь u – окружная скорость;

r – радиус вращения.

Учитывая, что u = r, имеем:

.

Очевидно, что уравнение поверхности в данном случае имеет вид:

.

Интегрируя это уравнение, получим

или

. (2.49)

Уравнение (2.49) представляет собой параболу в плоскости ro_z.

Очевидно, что для всей массы жидкости поверхность уровня будет параболоидом вращения.

Постоянная с находится из граничных условий. Так, при r = 0 из уравнения (2.49) получаем:

. (2.50)

С учетом равенства (2.50) уравнение свободной поверхности име­ет вид:

, (2.51)

где h – глубина на расстоянии r от оси вращения.

Таким образом, глубина h увеличивается с увеличением рас­сто­яния от оси.

Закон распределения давления находим из уравнения

.

Трехчлен правой части выразим в виде

.

Тогда

или

.

После интегрирования и изменения порядка слагаемых получим

. (2.52)

Найдем постоянную интегрирования с, принимая r=0, z=h₀ и p=p₀,

. (2.53)

Подставляя формулу (2.53) в уравнение (2.52), получим

или

. (2.54)

Из уравнения (2.54) видно, что для любого заданного r=const, закон рас­пре­деления давления по высоте является линейным, т.е. таким же, как и без вращения:

.