7.2.2. Кинематическое подобие

Кинематическое подобие обязательно включает в себя геомет­ри­ческое подобие, т.е. для кинематического подобия необходимо, что­бы траектории частиц обоих потоков были подобны геометрически.

Кроме того, для кинематически подобных потоков отрезки тра­екторий соответствующих частиц натурного и модельного потоков, а также отрезки времени, в течение которых протекают соответ­ст­вую­щие процессы в натуре и в модели, должны быть пропорциональны.

Другими словами, если в первом потоке (натуре) частицы про­ходят путь L₁ за время t₁, то во втором потоке (модели) – путь L₂ за t₂.

Причем, отрезки L₁ и L₂ должны быть геометрически подобны, а отношение должно быть одинаковым для сходственных точек обо­их потоков.

Отношение называется масштабом времени и обозначается k_t. Например, для скоростей частиц жидкости в сходственных точках потока легко получить следующие выражения:

Тогда

.

Очевидно, что

.

Аналогично находим масштаб ускорений:

.

Таким образом, скорости и ускорения в сходственных точках по­тока связаны соотношениями

. (7.4)

7.2.3. Динамическое подобие

Динамическое подобие обязательно включает в себя геомет­ри­чес­кое и кинематическое подобия. В любых потоках, если физическая природа действующих на жид­кость сил одинакова и силы образуют геометрически подобные силовые многоугольники, они являются динамически подобными.

В динамически подобных потоках отношение одноименных сил в сходственных точках в натуре и на модели постоянны, т.е.

, (7.5)

где Р – любая сила, в том числе и равнодействующая;

kр –масштабный коэффициент, или масштаб сил.

К силам, действующим в потоке жидкости, можно отнести: силы внутреннего трения жидкости, силы тяжести, силы поверхностного натяжения и др.

Для динамически подобных потоков отношение плотностей жид­кости в натуре и на модели должно быть постоянным:

. (7.6)

Обозначим действующие в сходственных точках натурного и мо­дельного потоков силы Р₁ и Р₂ соответственно. По основному урав­не­нию динамики, известному из теоретической механики, сила рав­на произведению массы на ускорение:

,

где m – масса жидкости;

а – ускорение.

Учитывая, что масса равна произведению плотности на ее объем

,

где , тогда

.

Ускорение определяется приращением скорости в единицу времени t, т.е. .

Следовательно,

. (7.7)

Таким образом, для динамического подобия необходимо, чтобы силы находились в соотношении

. (7.8)

Выражение (7.8) является математическим выражением общего закона динамического подобия, впервые сформулированным Ньютоном.

Преобразуем выражение (7.8) к виду

. (7.9)

Следовательно, – критерий Ньютона. Критерий Нью­тона является обобщенным критерием динамического подобия меха­ни­ческих систем.

В гидродинамических исследованиях во многих случаях ока­зывается невозможным найти количественные оценки действующих внешних сил, а следовательно, и их равнодействующей. Поэтому при исследованиях гидравлических явлений часто выделяют только одну силу, а действием остальных пренебрегают. В этом случае применяют частные критерии Рейнольдса, Фруда, Вебера и др.