Контрольные вопросы

1. Что изучает кинематика и динамика жидкости?

2. Что представляет собой линия потока и траектория движения? В чем различие?

3. Что называется трубкой тока, элементарной струйкой и ка­ковы их свойства?

4. Что называется потоком жидкости?

5. Что называется живым сечением, смоченным периметром и гидравлическим радиусом?

6. Что называется средней скоростью потока и расходом?

7. Напишите уравнение неразрывности (сплошности) потока.

8. Приведите примеры равномерного и неравномерного, напор­но­го и безнапорного движения.

9. Что изучает метод Лагранжа?

10. Что изучает метод Эйлера?

3.9. Интегрирование уравнения Эйлера для установившегося движения жидкости

При установившемся движении частные производные по времени равны нулю, т.е.

.

В этом случае движение жидкости может быть вихревым.

Запишем уравнение Эйлера в следующем виде:

(3.15)

Умножим первое уравнение на dx, второе на dy и третье на dz; здесь dx, dy и dz являются проекциями элементарного пере­ме­ще­ния.

Тогда, для первого уравнения будем иметь:

. (3.16)

Учитывая, что ; и , преобразуем правую часть уравнения (3.16) к виду:

где выражение в скобках представляет полный дифференциал проекции скорости на ось ox т.е.

. (3.17)

С учетом уравнения (3.17) первое уравнение запишем в виде

. (3.17а)

Оставшиеся два уравнения записываются по аналогии:

(3.17б)

(3.17в)

Сложив почленно уравнения (3.17а, б, в), после некоторых пре­об­разований получим:

Здесь u² представляет полную скорость в данной точке.

Левую часть уравнения можно представить в виде силовой функции U(x, y, z) и полного дифференциала dp, т.е.

и

;

тогда имеем

или

. (3.18)

После интегрирования уравнения (3.18) получаем:

. (3.19)

Выражение (3.19) называют интегралом Бернулли-Эйлера.

Если движение жидкости протекает под действием только сил тяжести и жидкость несжимаемая, т.е. , то

и . (3.20)

С учетом выражений (3.20) интеграл Бернулли (3.19) принимает вид:

или после деления членов уравнения на g получим известное урав­не­ние Бернулли в его обычной форме:

. (3.21)

Для установившегося вихревого движения значение Н постоянно только вдоль одной линии тока или траектории (для элементарной струйки). Это следует из условий интегрирования для потен­ци­аль­ных течений.

Уравнение Бернулли имеет большое практическое и теоре­ти­ческое зна­чение. Согласно уравнению Бернулли сумма трех высот ос­тается неизменной вдоль данной элементарной струйки (рис 3.10). Высота z на­зывается геометрической высотой, или высотой положе­ния центра тяжести се­чения струйки; – высота, определяемая величиной гид­ро­ди­намического давления, или пьезометрическая высота; – ско­ростная высота, или скоростной напор.

Рис. 3.10

Энергетический смысл уравнения Бернулли представляет собой полную энергию, отнесенную к единице веса жидкости.

Сопоставляя основное уравнение гидростатики с уравнением Бернулли, видим, что слагаемое можно рассматривать как кинетическую энергию, отнесенную к единице веса жидкости:

.

Так как , то полный запас энергии элементарной струйки, отнесенной к весу жидкости, будет равен сумме:

В связи с этим уравнение Бернулли часто называют уравнением энергии.