7.5. Анализ размерностей. -теорема

При организации экспериментов необходимо с самого начала установить наиболее целесообразную методику их проведения и порядок обработки результатов опытов.

В практике гидравлических исследований метод анализа раз­мер­ностей нашел широкое применение. Этот метод позволяет заранее оп­ределить основные критерии подобия, в которых следует обра­ба­тывать результаты опытов, а также обобщать их и уста­навливать закономерности, отражающие исследуемый процесс.

Исходным для метода анализа размерностей является то, что любое математическое уравнение, описывающее физический про­цесс, обязательно должно быть размерно однородным.

Это означает, что обе его части имеют всегда одинаковую раз­мерность независимо от выбора системы физических величин.

Свойство однородности является основой теории размерностей. В механике в качестве основных физических величин принимают длину L, массу M и время T. Они независимы друг от друга.

В механике жидкости и газа не всегда удается воспользоваться основными физическими величинами, тогда принимаются любые, независимые друг от друга, например плотность, скорость, время.

Достоинством метода является то, что при его применении достаточно знать основные переменные величины, характеризующие данный процесс, само же уравнение, описывающее этот процесс, может быть неизвестно.

Обычно задача анализа размерностей решается путем опреде­ле­ния физических величин, которые полностью характеризуют дан­ный процесс. Затем устанавливается характер зависимости между вы­деленными величинами, исходя из принципа однородности раз­мерности с помощью так называемой -теоремы.

Сущность -теоремы состоит в следующем. В общем случае -тео­рема устанавливает связь между теорией подобия и теорией размерностей.

Предположим, что переменная величина А₁ зависит от ряда пере­менных: А₂, А₃, …, А_n, участвующих в каком-либо физическом процессе, и не зависит от каких-либо других переменных.

Тогда общая функциональная зависимость между этими вели­чи­нами может быть представлена уравнением

(7.28)

или

.

Пусть число определяющих размерных единиц, через которые могут быть выражены все n – переменные, равно m.

-Теорема формулируется так:

Уравнение, связывающее между собой n размерных физических величин, характеризующих рассматриваемое явление, среди ко­торых m обладают независимой размерностью, может быть пре­об­разовано в n-m безразмерных комплексов, составленных из ука­занных величин.

-Теорема устанавливает, что если указанные n переменных вы­разить через эти основные единицы, то их можно сгруппировать в n-m безразмерных -членов:

, (7.29)

где каждое число  представляет собой безразмерное произведение нескольких А, то есть число членов в физическом уравнении со­кра­щается до n – m. Причем каждый такой -член будет содержать m + 1 переменную величину. В гидродинамических задачах число таких переменных, входящих в -члены, должно равняться четырем.

Три из них – определяющие: характерный размер (диаметр d), скорость течения жидкости  и ее плотность  (или вязкость ) входят в каждый из -членов и только четвертая заменяется другой при переходе от члена к члену.

Для удобства исследования показатели последних принимаются рав­ными –1. Показатели степени определяющих переменных не­из­вестны. Обозначим их x, y, z с индексами, соответствующими ин­дек­сам -членов.

Таким образом, имеем:

. (7.30)

Выражаем затем входящие в -члены переменные через основные независимые размерности, но, поскольку эти члены являются безразмерными во всех полученных для них выражениях, то показа­те­ли степени каждой из основных размерностей должны обязательно рав­няться нулю.