7.3. Гидродинамические критерии подобия

Рассмотрим порядок получения критериев, в которых учи­ты­ва­ется действие тех или иных сил.

1. Рассмотрим движение вязкой жидкости по горизонтальному тру­бо­про­воду. В этом случае решающее значение имеют силы внутрен­него трения.

По основному закону внутреннего трения эти силы могут быть выражены следующим образом:

. (7.10)

Для натурного и модельного потоков получим отношение вида

. (7.11)

Приравнивая правую часть отношения (7.11) к полученному выше основ­ному уравнению динамического подобия, получим

. (7.12)

Преобразуем выражение (7.12) к виду

.

Заменив отношение кинематической вязкостью , получим

. (7.13)

Отсюда критерий Рейнольдса

, (7.14)

где l –

характерный размер, в частном случае – диаметр трубы d:

. (7.15)

Следовательно, в рассматриваемом случае критерием дина­ми­ческого подобия является число Рейнольдса и условие подобия (7.13). Это равносильно тому, что число Re одинаково для обоих потоков.

Физический смысл критерия Рейнольдса. Критерий Re харак­те­ризует отношение силы инерции к силе трения (вязкости).

Рассмотрим движение по трубопроводу неньютоновской вязко­пластичной жидкости при определении сил внутреннего трения.

Силы внутреннего трения в этом случае обусловлены как вяз­кими, так и пластичными ее свойствами. Тогда необходимо учиты­вать напряжение сдвига ₀, а именно:

. (7.16)

Запишем уравнение (7.8) с учетом уравнения (7.16):

.

Преобразуем это выражение к виду

,

тогда

,

где – критерий Рейнольдса для ньютоновской жидкости;

– критерий Сен-Венана (Ильюшина), характеризую­щий пластические свойства жидкости.

Окончательно можно записать:

. (7.17)

2. Если влияние вязкости жидкости незначительно и движение жидкости преимущественно обусловлено действием сил тяжести, то в основное уравнение динамического подобия (7.8) вместо силы Р надо подставить значение силы тяжести:

, (7.18)

где – масса жидкости;

g – ускорение силы тяжести.

Запишем уравнение (7.8) с учетом формулы (7.18)

или после сокращений

. (7.19)

Выражение (7.19) называется законом подобия Фруда, а – критерием Фруда. Критерий Фруда характеризует отно­ше­ние силы инерции к силе тяжести.

Критерий Фруда применяется при моделировании большинства гидротехнических сооружений, истечении жидкости через водо­сли­вы, при изучении волнового сопротивления, испытываемого дви­жу­щимися кораблями.

Если преобладающее влияние имеет сила поверхностного на­пря­жения (например при истечении жидкости из капиллярных отверстий), то в уравнение (7.8) вместо силы Р следует подставить вы­ра­жение силы поверхностного натяжения:

. (7.20)

Тогда имеем

.

Отсюда получим

. (7.21)

Выражение (7.21) называется законом подобия Вебера, а – это критерий Вебера. Он характеризует отношение сил инерции к силам поверхностного натяжения.

Контрольные вопросы

1. Раскройте сущность физического моделирования.

2. Раскройте сущность математического моделирования.

3. Что называется законами механического подобия?

4. Раскройте сущность геометрического, кинематического и ди­на­мического подобия.

5. Что такое коэффициенты подобия?

6. Что такое критерий Ньютона?

7. Раскройте физический смысл критерия Рейнольдса.

8. Раскройте физический смысл критерия Фруда.

9. Раскройте физический смысл критерия Вебера.

10. Что характеризует критерий Сен-Венана (Ильюшина)?