Примеры

Пример. Рассмотрим применение -теоремы для определения опытным путем потерь напора на трение по длине потока при равномерном напорном движении по трубам вязкопластичной бингамовской жидкости.

Известно, что потери напора, а следовательно, и давления p зависят от следующих факторов:

– геометрических характеристик трубопровода диаметра d, дли­ны ℓ, шероховатости стенок ;

– физических свойств жидкости: плотности , динамической вязкости , начального напряжения сдвига ₀;

– средней скорости течения v.

Общую функциональную зависимость, связывающую эти вели­чи­ны, представим уравнением:

(7.31)

или

. (7.32)

В задачах прикладной механики жидкости и газа имеются три фи­зи­ческие величины, имеющие независимые размерности: масса [M], вре­мя [T], длина [L], то есть в этих задачах следует при­ни­мать m = 3. Это позволяет составить уравнение размерностей для каждого -чле­на, соблюдая при этом обязательное условие их раз­мерной од­но­род­нос­­ти. Так как число основных размерных величин равно трем (m = 3), а переменных величин в уравнении (7.32) семь (n = 7), то по­лучим уравнение, состоящее из n-m безразмерных -членов:

. (7.33)

Каждый -член должен содержать четыре переменные величины. Принимаем в качестве определяющих переменных величин следующие:

– диаметр трубопровода d;

– среднюю скорость ;

– плотность жидкости .

Комбинируя их поочередно с остальными переменными, входя­щи­ми в уравнение (7.32), получим:

(7.34)

Запишем размерности переменных величин, входящих в -члены системы (7.34):

[d] = [L]; [v] = ; [] = ;

[] = = [FTL^-2] = ; [₀] = ;

[]=[L]; [p] = ; = .

Составим уравнения размерностей для каждого из -членов, имея в виду обязательное условие их размерной однородности. Для первого члена имеем

. (7.35)

Найдем степени размерностей в левой части уравнения (7.35):

.

Приравнивая к нулю показатели степени при одинаковых ос­но­ваниях х, получим систему уравнений с неизвестными x₁, y₁, z₁:

(7.36)

Из совместного решения уравнений (7.36) находим:

.

Подставив эти значения показателей степени в первый -член системы уравнений (7.34), получим

, (7.37)

где найденное значение ₁ представляет собой критерий Рейнольдса: .

Для второго -члена имеем

Отсюда запишем систему уравнений:

Находим x₂, y₂, z₂:

Запишем выражение для второго -члена с учетом показателей степени:

или

. (7.38)

Для третьего -члена:

;

Отсюда

.

Решая систему уравнений, получим:

Тогда

или

. (7.39)

Для четвертого -члена:

.

Отсюда

.

Решая систему уравнений, получим:

Тогда

или

. (7.40)

Подставив значения p-членов в соотношение (7.33), получаем уравнение:

. (7.41)

Решая уравнение (7.41) относительно p₄, находим

. (7.42)

Выделим Dp из уравнения (7.42) и получим:

. (7.43)

Разделив левую и правую части уравнения (7.43) на rg, на­ходим:

.

Обозначим

и получим выражение для потери напора:

.

Тогда общее выражение для l примет вид:

. (7.44)

Знаменатель выражения (7.44) представляет собой крите­ри­аль­ное уравнение, включающее критерии:

– критерий Рейнольдса;

– критерий пластич­нос­ти;

здесь – критерий Сен-Венана (Ильюшина) – есть характеристика пластичности жидкости.

Отношение является характеристикой геометрического подо­бия .

Следовательно, можно выразить l в следующем виде:

. (7.45)

Для ньютоновской жидкости t₀ = 0, поэтому при турбулентном ре­жиме имеем

.

При ламинарном режиме (e = 0), тогда

.

Таким образом, применение метода анализа размерностей по­зво­лило выявить основные критерии подобия, характеризующие потери напора на трение по длине трубопровода.

В этих критериях производится обработка опытных данных на модели та­ким образом, чтобы соблюдалось их равенство в натуре.