3.2.Основное уравнения гидростатики

Рассмотрим распространенный частный случай равновесия жидкости, когда на нее действует лишь одна массовая сила — сила тяжести, и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке рассматриваемого объема жидкости.

Допускаем, что свободной поверхностью жидкости считается горизонтальная плоскость.

Пусть жидкость содержится в сосуде (рис.3.2) и на ее свободную поверхность действует давление Р₀. Найдем гидростатическое давлениеРв произвольно взятой точкеМ, расположенной на глубине h.

Выделим около точки М элементарнyю горизонтальную площадкуdSи построим на ней вертикальный цилиндрический объем высотойh, то есть воспользуемся «принципом затвердения». Рассмотрим условие равновесия выделенного объема жидкости. Для равновесия объема давление жидкости на нижнее основание цилиндра будет действовать давление, которое по отношению к нему будет внешним и направлено по нормали внутрь объема, т. е. вверх.

Запишем условие равновесия выделенного объема в проекции на вертикальную ось Z:

РδS –P₀δS – ρg(h*δS) = 0.

Последний член уравнения представляет собой вес объема жидкости. Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не входят, так как они нормальны к вертикальной оси. Сократив выражение на δS и выразивР, найдемосновное уравнение гидростатики:

Р=Р₀+hρg=P₀+h*γ, (3.1)

Используя его можно определить давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление складывается из давления Р₀ на внешнюю поверхность жидкости и давления, вызываемого весом вышележащих слоев жидкости.

Величина Р₀является одинаковой для всех точек объема жидкости, поэтому, учитывая основное уравнение гидростатики, можно сказать, что давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается во все точки этой жидкости и по всем направлениям одинаково.

Давление жидкости как видно из формулы (3.1) возрастает при увеличении глубины по линейной зависимости и на данной глубине есть величина постоянная.

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня. Поверхностями уровня являются все горизонтальные плоскости в жидкости, свободная поверхность является одной из поверхностей уровня.

Возьмем на произвольной высоте относительно сосуда горизонтальную плоскость, которую назовем плоскость сравнения (рис.3.2), от которой вертикально вверх будем отсчитывать координаты. Обозначив через Zкоординату точки М, черезZ₀— координату свободной поверхности жидкости и заменив в уравнении (3.1)hнаZ₀ — Z, получим

Р=Р₀+hρg = Р₀+(Z₀ - Z)ρg = Ро+ Z₀ρg - Zρg ,

преобразовав и разделив уравнение на ρg,

Z + Р/(ρg) = Z₀+P₀/(ρg).(3.2)

Так как точка М взята произвольно, можно утверждать, что для всего рассматриваемого неподвижного объема жидкости

Z + Р/(ρg) → const

Определения (см.рис.3.2).

1.Координата Z (точки М относительно произвольной плоскости сравнения) называется геометрическим напором.

2.Величина h = Р/(ρg)= Z - Z₀ называется пьезометрической напором.

3. Сумма Z + h = Z+ Р/(ρg) называется гидростатическим напором.

Геометрический, пьезометрический, гидростатический напоры имеют линейную размерность.

Пьезо́метр (от греч.еского слова  пьезо — сжимаю и метрео — измеряю) — прибор, который используется для производственного и лабораторного измерения гидростатического или гидродинамического давления  жидкостей и деформации твёрдых тел.