10.4. Ламинарное течение в зазоре

Определим скорость, расход и потери при ламинарном течении в зазоре, образованном двумя параллельными плоскими стенками, расстояние между которыми равно а(рис. 10.4). Начало координат поместим в середине зазора, направив ось Ох вдоль течения, а ось Оу — по нормали к стенкам.

Возьмем два нормальных поперечных сечения потока на расстоянии lодно от другого и рассмотрим поток шириной, равной единице. Выделим объем жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда, расположенного симметрично относительно оси Ох между выбранными поперечными сечениями потока и имеющего размеры сторонl*2y*b, где b=1.

Условие равномерного движения выделенного объема вдоль оси Ох:

(2у*b)*p_тр = - μ(∂V/∂y)*2l*b(10.13)

где р_тр = р₁- р₂– разность давлений(перепад) в рассматриваемых сечениях. Знак минус, потому что производная∂V/∂yотрицательна, 2l*b, так как две поверхности – сверху и снизу

Из предыдущего (10.13) найдем приращение скорости ∂V, соответствующей приращению координаты∂y:

После интегрирования получим:

Так как на стенке y = a/2, V = 0, находимC=, откуда

, (10.13)

Далее подсчитаем расход q, приходящийся на единицу ширины потока, для чего возьмем симметрично относительно оси Оzдве элементарные площадки 2b*δy= 2δy, так какb=1 и выразим элементарный расход

перейдя к дифференциалам и интегрируя, получим

Выразим потерю давления на трение через полный расход Q= q*bпри зазоре ширинойb≠ 1; получим

(10.14)

10.5. Ламинарное течение в зазоре. Случай подвижных стенок.

Когда одна из стенок, образующих зазор, перемещается параллельно другой стенке, а давление в зазоре постоянно вдоль длины, подвижная стенка увлекает за собой жидкость, и возникает так называемое фрикционное безнапорное движение.

Выделим в таком потоке элемент dx*dy*b, как показано на рис. 10.5 и рассмотрим действующие на него силы.

Давления, приложенные к левой и правой граням элемента одинаковы (напора – нет), на элемент действуют только силы трения, вызываемые касательными напряжениями на верхней грани - τ на нижней грани τ+δτ.

Для того чтобы имело место равновесие, эти силы должны быть равны и τ = С.

По закону Ньютона τ = - μdv/dy=C(знак минус взят т.к. приdy> 0,dv<0) и после интегрирования

Постоянные С и С₁найдем приy=a/2,v= 0 и приy=a/2,v=u, гдеu– скорость стенки. Отсюда

После подстановки С и С₁в последнее уравнение получим закон распределения скоростей

Расход жидкости q, приходящийся на единицу ширины зазора, определяется по средней скорости:Vср = (u/2),

Если же указанное перемещение стенки происходит при перепаде давления в жидкости, заполняющей зазор, то закон распределения скоростей найдем, как сумму при совпадении силы давления жидкости и направления движения стенки или разность в противоположном случае.

Распределение скоростей в зазоре показано на рис.10.6 в двух вариантах:

а) направление движения стенки совпадает с направление течения жидкости под действием перепада давлений;

б) направление движения стенки противоположно течению жидкости.

Расход жидкости через зазор единичной ширины в этих случаях определится как сумма расходов, выражаемых формулами (1.88) и (1.91), т. о.

Первое слагаемое формулы называется расходом напорного течения, а второе — фрикционным расходом.