10.8. Течение при больших перепадах давления.

Опыт показывает, что при ламинарном течении в зазорах и трубах, происходящие под действием больших перепадов давления (около нескольких десятков мегапаскалей) падение напора вдоль потока оказывается существенно нелинейным, т. е пьезометрическая линия для потока постоянного сечения заметно искривляется, а закон Пуазейля дает значительную погрешность.

Объясняется это тем, что при любом режиме потеря энергии на единицу расхода жидклости растет пропорционально перепаду давления, что влечет за собой нагревание жидкости при больших перепадах давления и уменьшение ее вязкости.

С другой стороны, так как вязкость жидкости возрастает с увеличением давления, в начале потока она будет повышенной, а вдоль потока будет уменьшаться вследствие падения давления. Таким образом, вязкость переменна вдоль потока, и, как результат одновременного действия па нее температуры и давления продольный градиент давления dp/dx, обусловленный трением, оказывается в начале потока больше, а в конце потока меньше, чем то следует из закона Пуазейля.

Что касается расхода, то повышение температуры уменьшает вязкость и следовательно способствует увеличению расхода, а высокое давление в жидкости повышает вязкость и уменьшает расход по сравнению с его значением по Пуазейлю при том же перепаде давления, т.о. влияние этих двух факторов на расход является противоположным.

С описанным видом ламинарного течения приходится сталкиваться особенно часто в высоконапорных гидромашинах, где под действием больших перепадов давления происходит перетекание вязкой жидкости через малые зазоры.

Рассмотрим задачу о ламинарном течении в зазоре величиной а, длинойlи ширинойbс учетом влияния на вязкость давления и температуры. При этом допустим, что плотность жидкости не зависит от давления и температуры, а соотношение размеров зазора стремитсяа/b→0.

Для одновременного учета влияния на вязкость жидкости давления и температуры принимаем в соответствии с формулами (1.17) и (1.18)

(1.93)

Здесь индекс 1 относится к величинам в начале потока. Примерные значения величин α и β и были приведены в п. 1.3.

Воспользуемся полученной в п. 1.26 формулой (1.89), но применим ее не к конечной длине зазора а к элементу dl=dxэлементу. Определив по этой формуле расходQ, будем иметь

Q= (1.94)

Знак минус вводим потому, что положительному приращению х соответствует отрицательное приращение р. Полученное выражение отличается от формулы (1.89) тем, что в нем dp/dxи μ являются переменными величинами, зависящими от х. При этом, еслиQ=constвдоль потока (жидкость абсолютно несжимаема), то одно переменное пропорционально другому.

Запишем теперь уравнение энергии, т. е. равенство между потерей энергии на трение перешедшей в тепло, и приростом тепловой энергии жидкости за единицу времени:

Q*ρ*c(T-T₁) = k(P₁-P₂)Q(1.95)

где с– теплоемкость жидкости,k- коэффициент, учитывающий долю работы сил вязкости, которая идет на нагревание жидкости ,р– давление в конце участка.

При k = 1теплоотдача в стенку отсутствует и вся теряемая энергия , обусловленная вязкостью идет на нагревание жидкости. Приk = 0 происходит столь интенсивная теплоотдача в стенку, что температура жидкости не повышается (изотермическое течение).

Из выражения (1.95) имеем

T –T₁ = k(P₁-P)/(ρ*c).

После подстановки предыдущего выражения в формулу (1.93)получим

(1.96)

Используем найденную связь между μ и ρ для интегрирования уравнения (1.94) . После разделения переменных будем иметь

или.

Произведя интегрирование, получим

Постоянную интегрирования С найдем из условий в начальном сечении, где при x=0 Р=Р1. Следовательно,

С =

Пусть в конечном сечении потока при x=l,P= Ризб =0. В результате

(1.97)

Входящая в формулу (1 .97) величина μ₁ является вязкостью в начальном сечении потока, т.е. при сечения потока, т. е. при р = Р₁(j) иT= Т₀; она может быть выражена через μ₀ - вязкость при Р = Ризб = 0 и Т = Т0 по формуле (1.86), т.е.

μ₁= μ₀e^αp₁.

Для изотермического течения в формуле (1.97) следует положить k=0 . С учетом предыдущего в этом случае, получим

Найдем относительный расход q, равный отношению расхода при переменной вязкости и расходу при μ = μ₀=const. Для этого разделим уравнение (1.97) на

Q0 =P1*ab/(12 μ₀l) и получим

На рис. 1.52 представлены зависимости от Р₁по формуле (1.99) для трех жидкостей : керосина(1), трансформаторного масла (2) и жидкости АМГ-10(3), причем для двух случаев :k=1 отсутствие теплообмена) иk= 0 (изотермическое течение). Кривые, соответствующие двум крайним режимам, расходятся довольно существенно. Реальные процессы описываются кривыми, которые располагаются между этими предельными кривыми. В связи с тем, что скорости течения жидкости в зазорах при столь высоких перепадах давления очень велики и каждая частица пребывает в зазоре вес ьма незначительное время, более вероятными представляется режим течения , при которомk= 1 т.е. теплообмен играет незначительную роль. Это предположение подтверждается новыми экспериментами по исследованию изотермического течения в зазорах, проведенными Солиным. Однако, эти же исследования показывают, что при увеличении относительной длины зазораl/aи числа Прандтля, равногоPr= μc/λ (c– теплоемкость, λ - коэффициент теплопроводности, а также при уменьшении числаReроль теплообмена возрастает, и процесс течения может приближаться к изотермическому.

Изложенная теория позволяет получить зависимость Р/Р1 от x/lи построить соответствующие кривые (рис.1.53) Как видно из графика, чем выше давление Р1 тем больше отклонение кривых от прямой , соответствующей закону Пуазейля.