4.6. Равномерное вращение сосуда с жидкостью

Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему вращение с постоянной угловой скоростью ω вокруг его вертикальной оси. Силы трения о стенки вращающегося сосуда будут увлекать за собой жидкость. Она постепенно приобретет ту же угловую скорость, что и сосуд, находясь по отношению к сосуду в покое. Свободная поверхность жидкости изменится.

В центральной части уровень жидкости опустится, у стенок она поднимется, и вся свободная поверхность жидкости станет поверхностью вращения (рис.4.6).

На жидкость будут действовать силы давления, силы тяжести и силы инерции переносного движения. Частица жидкости будет находиться под действием ускорения силы тяжести и центростремительного ускорения, а равное ему ускорение силы инерции будет центробежным. Единичная массовая сила тяжести F_g = gи единичная массовая центробежная сила F_цб = ω²r.

Проекции этих сил на оси координат дадут следующие выражения

X = (V²/r) Cos(r^x) = ω²r Cos(r^x)= ω²X

Y = (V²/r) Cos(r^y) = ω²r Cos(r^у)= ω²Y,

Z = -g

Подставляя эти проекции в дифференциальное уравнение поверхности равного давления и интегрируя :

X*dх+У*dy+Z*dz = 0,

получим ρ(ω²/2) (X² + Y²) – ρgz + С = 0.

Уравнение свободной поверхности, например, получим, при нулевых условиях: Р₀ = const, х = у = 0, z= z₀,где координата вершины параболоида свободной поверхности. ТогдаС = ρgz₀.

ρ(ω²/2) (X² + Y²) – ρgz + ρgz₀ = 0,

(ω²/2) (X² + Y²) =g(z - z₀)

и после деления на g уравнение свободной поверхности получит вид

(4.22)

Таким образом, поверхности равного давления, в том числе и свободная поверхность, образуют семейство параболоидов, сдвинутых вдоль вертикальной оси. Каждому значению рсоответствует свой параболоид, положение которого определяет константа С.

Эти поверхности будут конгруэнтными параболоидами вращения с осью Oz. Один из этих параболоидов – свободная поверхность жидкости, где Р₀= Ратм.

Две геометрические фигуры называются конгруэнтными, если их можно совместить одну с другой, изменив их положение в пространстве.

Подставляя проекции массовых сил в дифференциал давления

dp = ρ(Xdx + Ydy + Zdz),

получим dp = ρω² (Xdx + Ydy) –ρ gdz,

вынесем знак дифференциала за скобки,

dp = ρ d[(ω²/2) (X² + Y²)] –ρ gdz,

и проинтегрировав, получим выражение для определения давления в любой точке

p = ρ(ω²/2) (X² + Y²) –ρ gz + С₁, (4.21)

Значение константы для свободной поверхности Р = Р₀, x=y=0, z = z₀: С₁ = Р₀ + ρgz_0.

Получим уравнение для определения давления в любой точке:

(4.22)

Пользуясь этими уравнениями можно определить положение свободной поверхности и давление в сосуде.

Максимальная высота Н подъема жидкости в параболоиде со свободной поверхностью может быть определена, следующим образом.

На практике часто рассматривается вращение сосуда с жидкостью, когда угловая скорость ω столь велика, что силой тяжести можно пренебречь по сравнению с центробежными силами. При этом закон изменения давления в жидкости легко получить из формулы (4.22), в которой следует принять g(z₀ - z)= 0.

Поверхности уровня примут вид цилиндров с общей осью - осью вращения сосуда. Если сосуд не был заполнен перед началом вращения, давление Р₀будет действовать не в центре, а приr = r₀, вместо выражения (4.22) будем иметь

Р = Р₀ + ρ ω² (r —r₀²)/2g,(4.23)

Часто бывает необходимо определить силу давления вращающейся вместе с сосудом жидкости на его стенку, нормальную к оси вращения (или на кольцевую часть этой стенки).

Для этого необходимо выразить сначала силу давления, приходящуюся на элементарную кольцевую площадку dS =2πrdrрадиусомrи шириной dr;

Уравнение, выражающее величину давления имеет вид

При определении давления на верхнюю крышку где Z=0, Z₀ может быть больше нуля Z0>0, равно нулюи меньше нуля

В первом случае

а затем выполнить интегрирование в требуемых пределах.

При большой угловой скорости жидкости можно получить весьма значительную суммарную силу давления на стенку. Этот эффект используется в некоторых фрикционных муфтах, где для осуществления сцепления двух валов требуется создание больших сил нормального давления. Способ, указанный выше, применяют для определения силы осевого давления жидкости на рабочие колеса центробежных насосов, а также на крышки центрифуг.

5-я лекция.