3.1А. Закон Паскаля. Свойство гидростатического давления в точке.
"Величина гидростатического давления в точке покоящейся жидкости не зависит от направления площадки, для которой она вычислена".
Выделим в неподвижной жидкости элементарный объем в форме тетраэдра с ребрами, параллельными координатным осям и равными δx, δyиδz, грани этого тетраэдра перпендикулярны соответствующим координатным осям х, у,z. (рис.3.1).
Площади граней будут равны
площадь наклонной грани
Рассмотрим действие на тетраэдр внешних массовых и поверхностных сил.
Массовые силы пропорциональны массе жидкости или, если жидкость однородна, ее объему, поэтому выберем произвольное направление массовой силы: из вершины трехгранного угла координатной оси. Как мы увидим далее, составляющие массовой силы в уравнениях равновесия умножаются наδx, δy, δz,при стремлении объема тетраэдра к нулю,δx, δy, δzстремятся к нулю и выбор направления массовой силы может быть произвольным.
Массовая сила, действующая на выделенный объем, в соответствии со вторым закону Ньютона может быть записана в виде
δF = mА,
где m– масса, А – ускорение.
Рассмотрим равновесие тетраэдра при действии на него сил гидростатического давления и массовой силы δF, проекции ускорения которой на оси координат обозначим
Ах =Х, Аy = Уи Аz = Z.
Силы гидростатического давления жидкости действуют на тетраэдр по его граням-площадкам, обозначим как δРх, δРу, δРz.
Обозначим через Рх гидростатическое давление, действующее на грань, нормальную к осиОxплощадью δSx= (δyδz/2), черезPу— давление на грань нормальную к осиОу, и т. д. Гидростатическое давление, действующее на наклонную грань, обозначим черезРn, а площадь этой грани — черезδSn.
Составим уравнение равновесия сил, действующих на тетраэдр в проекциях на ось Ох, учитывая при этом, что все силы давления направлены по нормалям к соответствующим площадкам. Проекция сил на ось Ох
δРх – δРn + ХδM = 0.
Подставляя входящие в уравнение величины, получим
Рх(δyδz/2) –Рn[δS*Cos(n^x)] + [ρ(δxδyδz/6)] Х = 0.
где Cos(n ^x) – косинус между нормалью к площадке δS и осью Ох, масса жидкости в тетраэдре равна произведению ее плотности ρ на объемW = δxδyδz/6, то естьM = ρ(δxδyδz/6), следовательно, проекция массовой силы, действующая на тетраэдр вдоль оси Ох, составляет
Fx = [ρ(δxδyδz/6)] Х.
Разделив это уравнение на площадь треугольника δyδz/2, которая равна проекции площади наклонной граниδSnна плоскостьу0z, т. е.δyδz/2 = δS Cos(n ^x), получим
Рх –Рn + ρ(δx)X/3 =0.
При стремлении размеров тетраэдра к нулю δx, δy, δzтакже стремятся к нулю. Поэтому последний член уравнения, содержащий множитель δx, равен нулю. ДавленияРх иРn будут стремится к значению гидростатического давления в точке в направлениях к оси Х – Рх и нормалиn–Pn. Поэтому при переходе к пределу при δх=0,получим
Рх-Рn = 0илиРх = Рn.
Аналогично, составляя уравнения равновесия вдоль осей ОуиОz, находим
Рy =Pn, Pz = Pn или Рх = Ру = Рz=Рn
Так как размеры тетраэдра δx,δy,δzвзяты произвольно, то и наклон площадкиδSпроизволен и, следовательно, в пределе при стремлении объема тeтраэдра к нулю, давление в его вершине по всем направлениям будет одинаково.
Это свойство гидростатического давления имеет место и при движении идеальной - невязкой жидкости.
При движении реальной жидкости возникают касательные напряжения, вследствие чего давление в реальной жидкости указанным свойством не обладает.