3.3. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости и их интегрирование для простейшего случая Эйлера.

Рассмотрим равновесие жидкости под действием силы тяжести и силы инерции переносного движения при относительном покое.

В сосуде с неподвижной жидкостью выберем произвольную точку М с координатами х, уи z, в которой действует давлениеP(рис.3.3).

Систему координат будем считать жестко связанной с сосудом, содержащим жидкость. Выделим в жидкости элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям и равными δx, δyиδz. Точка М будет одной из вершин параллелепипеда. Рассмотрим условия равновесия выделенного объема жидкости. Пусть внутри параллелепипеда на жидкость действует суммарная массовая сила, проекции которой, отнесенные к массе дают проекции единичной массовой силы на оси Х, У иZ.

F = Fx+Fy+Fz = mA, A = F/m = Fx/m +Fy/m +Fz/m = X +Y + Z ,

Проекции массовых сил, действующих на выделенный объем в направлении координатных осей, будут равны произведениям проекций единичных сил, умноженных на массу выделенного объема: Fx = m X, Fу = mУ, Fz = mZ

Давление Ресть функция координатx, yиz, вблизи точки М по всем трем граням параллелепипеда оно одинаково по закону гидростатического давления. При переходе от точкиМнапример к точкеNизменяется лишь координатахна бесконечно малую величинуδх, в связи с чем функция Pполучает приращение, равное частному дифференциалу(∂р/∂х)*δх, поэтому давление в точкеN’ равно

Р + (∂р/∂х)*δх,

где (∂р/∂х) — градиент давления вблизи точки М в направлении оси х

Рассматривая давленияв других точках граней, нормальных к осиОх, например, в точкахN’иМ’, видим, что они отличаются от давления в т.Она одинаковую разность (с точностью до бесконечно малых высших порядков).

Р – [Р+(∂р/∂х) *δх]= (∂р/∂х)*δх.

Ввиду этого разность сил давления, действующих на параллелепипед в направлении осих, равна указанной разности давлений, умноженной на площадь грани:

(∂р/∂х)*δхδyδz.

Аналогичным образом, но градиенты давления (∂р/∂y)и(∂р/∂z)выразим разности сил давления, действующие на параллелепипед в направлении двух других осей.

На выделенный параллелепипед действуют лишь указанные массовые силы и силы давления, поэтому уравнения равновесия параллелепипеда в направлениях трех координатных осей запишем в следующем виде:

X*ρ δхδyδz - (∂р/∂х)*δхδyδz = 0

Y*ρ δхδyδz - (∂р/∂y)*δхδyδz = 0(3.3)

Z*ρ δхδyδz - (∂р/∂z)* δхδyδz = 0

Разделим эти уравнения на массу ρ(δхδyδz) параллелепипеда и перейдем к пределу, устремляяδх,δy иδzк нулю, т. е. стягивая параллелепипед к исходной точкеМ. Тогда в пределе получим уравнения равновесия жидкости, отнесенные к точкеМ. (3.2)

X – (1/ρ)*(∂р/∂х) = 0

Y - (1/ρ)*(∂р/∂y) = 0 (3.4)

Z - (1/ρ)*(∂р/∂z) = 0

Система (3.4) дифференциальных уравнений гидростатики называется уравнениями Эйлера.

Для практического пользования удобнее вместо системы уравнений (3.4) получить одно эквивалентное им уравнение, не содержащее частных производных. Для этого умножим первое из уравнений (3.4) на dх, второе наdутретьеdzи, сложив все три уравнения, получим

X*dх+У*dy+Z*dz - (1/ρ)*[(∂р/∂х)dx) + (∂р/∂y)dy+(∂р/∂z)dz] = 0

Трехчлен, заключенный в скобках, представляет собой полный дифференциал давления, т. е. функции Р(х, у, z)

[(∂р/∂х)dx) + (∂р/∂y)dy+(∂р/∂z)dz] = dP,

поэтому предыдущее уравнение можно переписать в виде:

X*dх+У*dy+Z*dz –dP/ρ = 0

или

dP=ρ(X*dх+У*dy+Z*dz) (3.5)

Полученное уравнение (3.5) выражает изменение давления dPпри изменении координат наdх,dуиdzв общем случае равновесия жидкости.

Если рассмотреть действие на жидкость только силы тяжести, и направить ось zвертикально вверх, тоХ = У=0,Z = — g, следовательно, вместо уравнения (3.5) для этого частного случая равновесия жидкости получим

dP = - ρg*dz (3.6)

После интегрирования будем иметь

P = - ρg*dz + C (3.6a)

Постоянную интегрирования найдем, подставив параметры свободной поверхности для которой при Z = Z₀ ,Р=Р₀(см. рис.3.4). Получим

С= Р₀+ ρg*Z₀

Подставим С в (3.6а), получим

P= Р₀+( Z₀ -Z) ρg(3.7)

Или

Z+P/( ρg) = Z₀ + P₀/( ρg)=const

Заменяя в уравнении (3.7) разность ( Z₀ -Z)наh— глубину расположения точки М (см.рис. 3.2.), найдем

Р = P₀ + ρgh

Получили то же основное уравнение гидростатики (3.1) или (3.2), которое было выведено в предыдущем параграфе иным путем.

Л. Э й л е р (1701—I783 гг.) — известный математик, механик и физик. Родился и получил образование в Базеле (Швейцария). Свыше 30 лет прожил в Петербурге, работая в Петербургской академии наук. Помимо математики, физики, теории упругости, теории машин и других наук занимался гидромеханикой, вывел дифференциальные уравнения движения жидкостей и газов (см. ниже), предложил критерий гидродинамического подобия. Считается одним из основоположников гидромеханики.