9.2. Внезапное расширение трубопровода

При внезапном расширении трубы (рис. 9.1) поток расширяется до большего диаметра не сразу, сначала жидкость выходит из меньшего сечения S₁(обозначено 3 -4) в виде струи. Струя отделена от жидкости, находящейся вокруг ее поверхностью раздела.

Поверхность раздела неустойчива, в кольцевом пространстве между потоком и стенкой трубы образуются вихри. Струя постепенно расширяется и на некотором расстоянии lот начала расширения заполняет все сечениеS₂ (обозначено 2-2).

В пространстве между струей и стенками жидкость находится в застойной зоне, из-за трения жидкость в этой зоне вовлекается в вихревое движение, затухающее по мере приближения к стенкам. Жидкость из этой зоны вовлекается в центральную струю, а жидкость из струи попадает в вихревую зону. Из-за отрыва потока и вихреобразования происходит потеря энергии.

Обозначим давление, скорость и площадь потока в сечении 1 – 1: Р₁ ,V₁,S₁, а в сечении 2 – 2:Р₂ ,V₂,S₂.

.

Сделаем следующие допущения:

1) гидростатическое давление распределяется по сечениям по закону гидростатики: .

2) распределение скоростей в сечениях соответствует турбулентному режиму движения α₁= α₂=1.

3) Трение жидкости о стенки на участке 1-2 не учитываем, ввиду его небольшой длины, учитываем только потери на расширение;

4) движение жидкости является установившимся, в том смысле, что напор истечения постоянен и средние скорости в сечениях S₁иS₂имеют определенное значение и не меняются.

Запишем для сечений 1 - 1 и 2 - 2 уравнение Бернулли с учетом потерь напора на расширение h_в.р.. Выразим потери на расширение

Определим величину потерь на внезапное расширениеh_в.р. теоремой об изменении количества движения.

Эта теорема формулируется известным образом: "изменению количества движения тела за единицу времени равно силе, действующей на тело».

δq– приращение количества движения объема жидкости "1-1-2-2" в проекции на ось потока равно проекции на ту же ось импульса внешних сил, действующих на этот объем.

За время δtобъем "3-4-2-2", состоящий из элементарных струек, переместится в положение: 3'-4' -2'-2'. Произойдет изменение количества движения жидкости, заключенной в объеме "1-1-2-2".

Жидкость в застойной зоне не участвует в главном движении, поэтому приращение количества движения в объеме "1-1-2-2" за время δtбудет равно разности количеств движения в объемах: 3-4-3'-4' и 2-2 -2'-2'. Внутренняя часть объема при вычитании сократится.

Обозначив скорости u₁ иu₂в живых сечениях элементарных струекδs₁,δs₂, можно записать приращение количества движения элементарных масс в струйках:

,

перейдя к дифференциалу и, интегрируя по площадям, получим

.

Эти интегралы дают количества движения масс жидкости, протекающей через живые сечения S₁иS₂в единицу времени. Они могут быть найдены через средниеV₁иV₂ скорости в этих сечениях:

,

получим приращение количества движения потока при расширении за время dt

.

Внешние силы, действующие на рассматриваемый объем:

- сила тяжести G=ρS₂l, где l – длина рассматриваемого объема 1-1-2-2;

- силы давления жидкости на поверхность сечения 1-1 - S₁, имея ввиду, что давление Р₁действует по всей площади 1-1 -S₁, так как на кольцевую площадь "1-3 и 4-1" действует реакция стенки трубы, а на поверхность сечения 2-2 -S₂ действует давление Р2.

Так как давления в сечениях действуют по гидростатическому закону, для определения сил на плоские стенки надо умножить давления в центре тяжести площадей S₁иS₂на их величину. Для проекции импульса получим

Приращение количества движения будет равно импульсу

Используя уравнение неразрывности V₁S₁ = V₂S₂ и значение синусаSinα=(z₂-z₁)/lи сократив на ρgS₂получим

(9.4)

Подставляя в выражение дляhв.р.получим

Потеря напора при внезапном расширении равна скоростному напору, определенному по разность скоростей для турбулентного режима движения.

Эту формулу называют формулой Борда в честь французского ученого, который вывел ее в 1766 г.

Формула хорошо подтверждается при турбулентном режиме течения и используется в расчетах. Явление сопротивления при внезапном расширении используется при конструировании лабиринтных уплотнений.

Определим коэффициенты сопротивления относительно скоростей в узком S₂и широком сеченииS₁. Уравнение неразрывности

1.Относительно скорости V₁в узком сеченииS₁:

2.Относительно скорости V₂в широком сеченииS₂: