9.8. Коэффициенты местных сопротивлений.

Таблица 1.

№	Вид местного сопротивления	Расчетные формулы
	Уравнение неразрывности
1	Внезапное расширение
		1.Скорости V1 в узком сечении S1: 2.Скорость V2 в широком сечении S2:
2	Выход из трубы в резервуар
3	Конический диффузор
	Θ=10º, φД = 0,25	1.Относительно скорости V1 в узком сечении S1:
	Внезапное сужение
	Выход из резервуара в трубу
	Конфузор

9-я лекция.

9. Теория ламинарного течения в круглой трубе

10.1. Потери напора на трение при ламинарном течении

Формула Пуазейля

10.2. Формула Вейсбаха-Дарси. Коэффициент Бусинеска.

10.3. Начальный участок ламинарного течения

10.4. Ламинарное течение в зазоре

10.5 Ламинарное течение в зазоре. Случай подвижных стенок.

10.6. Ламинарное течение в зазоре. Случай концентрических зазоров.

10.7. Особые случаи ламинарного течения. Течение c теплообменом

10.8. Течение при больших перепадах давления.

10.9. Течение с облитерацией.

10.1. Потери напора на трение при ламинарном течении.

Формула Пуазейля.

Ламинарное течение является упорядоченным слоистым течением жидкости без перемешивания слоев.

Теория ламинарного течения основана на законе трения Ньютона, по которому касательное напряжение τ в жидкости определяется силой трения слоев друг о друга и о стенки

, , (10.1)

знак перед величиной касательного напряжения берется в зависимости от знака градиента скорости:

При ламинарном течении жидкости число Рейнольдса меньше 2300-4000 и в жидкости большую величину имеют силы вязкости в сравнении с силами инерции и силами тяжести, поэтому при выводах закономерностей, связанных с ламинарным течением эти силы не учитываются.

Для определения скоростей, расхода и потерь при ламинарном движении в прямой круглой трубе, расположенной горизонтально, с внутренним диаметром равным d = 2r_о, выделяют цилиндрический объем длинойlмежду сечениями "1-1" и "2-2", радиусомr,соосный с трубой и имеющий основания в выбранных сечениях.

В сечении "1 – 1" давление равно Р_1, а в сечении "2 – 2" равноР₂. При постоянном внутреннем диаметре трубы скорость жидкости будет постояннойV₁=V₂и коэффициент Кориолисаαне будет изменяться вдоль потока.

Уравнение Бернулли для выбранных сечений "1-1" и "2-2"

приz₁=z₂,V₁=V₂

примет вид

,

где h_тр = Р_тр /(ρg),— потеря напора на трение по длине, эту величину показывают пьезометры, установленные в этих сечениях.

В уравнение равновесия выделенного объема жидкости входят силы давления и трения выделенного объема о слои окружающей жидкости.

При трении на поверхности цилиндра возникают касательные напряжения τ. Они действуют на цилиндрической поверхности и имея ввиду малость длины цилиндра можно считать, что напряжения равномерно распределены по его площади, поэтому уравнение равновесия цилиндра приобретает вид

(Р₁- Р₂)πr²-2πrlτ = 0,

Откуда

. (10.2),

где Ртр =(Р₁-Р₂) –перепад давлений на основаниях цилиндра.

Из формулы следует, что касательные напряжения в поперечном сечении трубы изменяются по линейному закону в функции радиуса. Эпюры касательного напряжения показаны на рис. 10.1, в начале трубы.

Выразим касательное напряжение τпо закону трения Ньютона через динамическую вязкость и поперечный градиент скорости, при этом заменим переменное расстояние у от стенки текущим радиусомr :

τ = -μ∂V/∂y= - μ∂V/∂r.

Подставляя значение τ в предыдущее уравнение (10.2) , получим

Найдем отсюда дифференциал скорости

При положительном приращении радиуса получается отрицательное приращение (уменьшение) скорости, что соответствует профилю скоростей, показанному на рис. 10.1 в конце трубы.

Выполнив интегрирование, получим

Величину С определим в конце стенки при r = r₀,V = 0:

Получим зависимость скорости от радиуса r

. (10.3)

Эта зависимость является законом распределения скоростей по сечению круглой трубы при ламинарном течении. Кривая, изображающая эпюру скоростей, является параболой.

Максимальная скорость в центре сечения при r= 0 равна

(10.4)

Входящее в формулу (10.4) отношение (рис.10.1) называется пьезометрическим уклоном. Эта величина является постоянной вдоль прямой трубы постоянного диаметра при ламинарном течении с постоянной скоростью.

Элементарный расход выражается как произведение скорости на малую элементарную площадку δS:

δQ = VδS.

Площадка dSберется в виде кольца радиусомr, и ширинойδr, переходя к дифференциалам:

.

После интегрирования по всей площади поперечного сечения т. е. от r=0 доr=r₀

,

(10.5)

Среднюю по сечению скорость найдем делением расхода на площадь. С учетом выражения (10.5) получим

, (10.6)

Сравнение этого выражения с формулой показывает, что средняя скорость при ламинарном течении в 2 раза меньше максимальной :Vср = 0,5Vмакс.

Потери напора hтрна трение через расход и размеры трубы с учетомμ=νρ

, ( 10.7)

При ламинарном течении в трубе круглого сечения потеря напора на трение пропорциональна расходу и вязкости в первой степени и обратно пропорциональна диаметру в четвертой степени.Этот закон обычно называемый законом Пуазейля, используется для расчета потерь в трубопроводах при ламинарным течением.

Жорж Пуазейль - французский ученый, получил эту формулу (10.7) экспериментальным путем в 1840 г