4.5. Прямолинейное равноускоренное движение сосуда с жидкостью.

Если при движении сосуда на частицы жидкости, кроме сил тяжести действуют еще силы инерции, под действием этих сил жидкость принимает новое положение равновесия - положение относительного покоя.

Относительным покоем называется равновесие жидкости, находящейся под действием сил тяжести и инерции в движущемся сосуде.

При относительном покое положение свободной поверхности и поверхностей уровня, отличается от их положения для жидкости в неподвижном сосуде.

При определении формы и положения этих поверхности учитывается основное свойство поверхности уровня.

Основное свойство поверхностей уровня - равнодействующая массовых сил всегда нормальна к этим поверхностям.

В полном дифференциале давления

dP=ρ(X*dх+У*dy+Z*dz), (4.12)

Х,У,Z– алгебраическая сумма проекций на оси координат ускорений силы тяжести и сил инерции переносного движения.

Вдоль поверхности уровня dР=0, так как поверхности уровня - это поверхности равного давления. Дифференциальное уравнение поверхности равного давления:

X*dх+У*dy+Z*dz = 0 (4.13),

Этот трехчлен (4.13) определяет элементарную работу массовых сил X,У,Zна перемещенияхdх, dy, dz. В данном случае перемещение взято по поверхности равного давления,dР=0.

Из этого выражения следует, что работа массовых сил вдоль поверхности равного давления равна нулю. Это значит, что в состоянии относительного покоя результирующее ускорение перпендикулярно к соответствующему элементу поверхности равного давления.

Рассмотрим два случая относительного покоя.

Первый случай: сосуд, движущийся прямолинейно и равноускоренно.

Второй случай: сосуд, вращающийся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью.

На рис.4.5 изображен сосуд, движущийся вниз с ускорением апо плоскости наклонённой под угломα к горизонту. Оси координат оси координат связаны с движущимся телом.

1. Пусть на жидкость действует суммарная массовая сила F, проекции которойF_x,Fy,Fz, поделенные на массу:Fx/mявляются проекциями единичной массовой силы на оси Ох, Оу, Oz: Х, У иZ.

F =Fx+Fy+Fz=mа,F/m=Fx/m+Fy/m+Fz/m=X+Y+Z =а.

Все выделенные составляющие являются векторными величинами.

Проекции массовых сил, действующие на выделенный объем в направлении координатных осей, будут равны произведениям проекций единичных сил, умноженным на массу выделенного объема.

Fx = mX, Fy = mY, Fz = mZ.

Результирующую единичнуюмассовую силу, действующую на жидкость, найдем как сумму единичных векторов силы инерцииj и силы тяжестиg.Единичная сила инерцииFи = j =- aнаправлена в сторону противоположную ускорению а(рис.4.5).

Проекции сумм массовых сил на оси:

Ox: X = j - gSinα,

Oz : Z = -gCosα,

Оx: Y = 0.

При подстановке этих проекций в дифференциал давления, получим

(1/ρ)dp = [(j - gSinα)dx – (gCosα)dz].

Проинтегрировав дифференциал в проекциях, получим выражение для давления на поверхностях уровня

Р = ρ [(j - gSinα) x – (gCosα)z] + С. (4.14)

На произвольной поверхности уровня давление постоянно Р = constи, обозначив новую постоянную С₁- Р = const,где Р получим уравнение изобарических поверхностей

ρ [(j - gSina) x – ρgCosa* z] +С₁ = 0(4.15)

Это уравнение дает семейство плоскостей, параллельных оси Оу. Одной из них является свободная поверхность.

Обозначим через z₀координату пересечения свободной поверхности с осьюz.Подставив в формулу (4.15)х₀ = 0, z = z₀, находимС₁=ρg z₀Cosαдля свободной поверхности. Уравнение этой поверхности имеет вид

ρ [(j - gSina) x – ρgCosa* z] + ρg z₀Cosα= 0

(j - gSina) x –gCosa*( z + z₀) = 0

где коэффициент в линейном уравнении равен тангенсу угла β .

Для определения положения свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно и равноускоренно к уравнению (4.16) нужно добавить уравнение объемов, т. е. нужно знать первоначальный объем жидкости в сосуде и выразить его через размеры сосуда В и Н и первоначальный уровень h.

Если сосуд движется только под действием силы тяжести, то j= gSinα β= 0, то свободная поверхность параллельна плоскости движения.

При нулевых условиях: х = 0,z = z₀,P = P₀в формуле (4.14), получимC=P₀+ (ρgCosa)z₀:

Р = ρ [(j - gSinα) x – (gCosα)z + С

Р = P₀+ρ(j-gSina)x+ρgCosa(z₀ – z). (4.19)

Эта формула используется для определения давления в любой точке жидкости, находящейся в относительном покое при прямолинейном движении

Можно также использовать суммарную массовую единичную силу q для определения давления в любой точке.

Возьмем на рис.4.5 около точки М площадку dS, параллельную свободной поверхности, и на этой площадке построим цилиндрический объем с осью, нормальной к свободной поверхности. Условие равновесия указанного объема жидкости в направлении нормали к свободной поверхности будет иметь вид

РdS = P₀dS + q(ρldS),

где последний член представляет собой полную массовую силу, q – суммарная единичная массовая сила, М = ρldS - масса выделенного объема жидкости,l — расстояние от точки М до свободной поверхности.

После сокращения на dSполучим давление в точке

Р = P₀ + qρl, (4.20)