10.2. Формула Вейсбаха-Дарси. Коэффициент Бусинеска

Потери напора на трение выражаются через среднюю скорость по формуле (10.6). Приведем формулу для потерь на трение к виду формулы Вейсбаха—Дарси:

для этого в формуле (10.7) выразим расход через среднюю скорость , и перегруппировав множители, после сокращении получим

, (10.7а)

Умножим числитель и знаменатель наV_срполучим

Формуле Вейсбаха-Дарси для определения потерь на трение при ламинарном движения

(10.8)

где - λ_л- коэффициент потерь на трение для ламинарного течения:

λ_л =64/Re (10.9)

Потеря напора на трение по длине при ламинарном течении пропорциональна скорости в первой степени. Квадрат скорости в формуле (10.8) для ламинарного течения получен умножением и делением на V_ср, а коэффициент λ_лобратно пропорционаленReи, следовательно, скоростиV_ср.

[Закон распределения скоростей по сечению трубы позволяет определить коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей в уравнении Бернулли, для случая установившегося ламинарного течения жидкости в круглой трубе. Для этого в выражении для α заменим скорость по формуле и среднюю скорость по формуле(1.81), а также учтем, чтоdS = 2πrdr. После подстановок и сокращений получим

α =

Обозначив переменную 1 — r²/r₀ через z, найдем

α = - 8

Итак, действительная кинетическая энергия ламинарного потока с параболическим распределением скоростей в 2 раза превышает кинетическую энергию того же потока, но при равномерном распределении скоростей.

Таким же путем можно показать, что секундное количество движения ламинарного потока с параболическим распределением скоростей в 2 раза больше количества движения того же потока, но при равномерном распределении скоростей, причем коэффициент β, называемый коэффициентом Буссинеска, в данном случае равен 4/3.]

Изложенная теория ламинарного течения жидкости в круглой трубе хорошо подтверждается опытом, и выведенный закон сопротивления обычно не нуждается в каких-либо поправках, за исключением течения в начальном участке трубы, где происходит постепенное формирование параболического профиля скоростей.

2) при течении с теплообменом;

З) при течении в капиллярах и зазорах с облитерацией;

4) при течения с большими перепадами давления (пп. 2—4 рассмотрен в п. 1.27).

10.3. Начальный участок ламинарного течения

При ламинарном течении и подаче жидкости из резервуара в прямую трубу постоянного диаметра у входа в трубу распределение скоростей по сечению получается практически равномерным, особенно, если вход выполнен cзакруглением (рис.10.2).

Затем под действием сил вязкости происходит перераспределение скоростей по сечениям: слои жидкости, прилежащие к стенке, тормозятся, а центральная часть потока, где еще сохраняется равномерное распределение скоростей, движется ускоренно.

При этом толщина слоев заторможенной жидкости постепенно увеличивается, пока не станет равной радиусу трубы, т. е. пока слои, прилегающие к противоположным стенкам, не сомкнутся на оси трубы. После этого устанавливается характерный для ламинарного течения параболический профиль скоростей.

Участок от начала трубы, на котором формируется параболический профиль скоростей, называется начальным участком течения - l_нач.За этим участком стабилизированное ламинарное течение, параболический профиль скоростей остается неизменным, как бы не была длинна труба, если сохраняется ее прямолинейность и постоянное сечения.

Теория ламинарного течения применима для этого стабилизированного ламинарного течения и неприменима для начального участка:

Для определения длины «начального участка» можно пользоваться приближенной формулой Шиллера, выражающей эту длину, отнесенную к диаметру трубы, как функцию числа Re:

l_нач /d = 0,029Re. (10.10)

Сопротивление на начальном участке трубы получается больше, чем на последующих участках. На начальном участке значение производной dv/dyу стенки трубы больше, чем на участках стабилизированного течения, больше и касательное напряжение, определяемое законом Ньютона.

Потеря напора на участке трубы, длина которого l ≤ l_начопределяется по формулам (10.7) или (10.8) с поправочным коэффициентомk>1. Значения этого коэффициента могут быть найдены по графику (рис.10.3), на котором он изображен как функция безразмерного параметрах*10³/ (d*Re). С увеличением этого параметра коэффициент уменьшается и при значении

х/( d*Re) = l_нач /( d* Re) = 0,029, (10.11)

т. е. при х = l_нач, становится равным 1,09. Следовательно, сопротивление всего начального участка трубы на 9% больше, чем сопротивление такого же участка трубы, взятого в области стабилизированного ламинарного течения.

Для коротких труб значения поправочного коэффициента, как видно из графика, весьма существенно отличаются от единицы.

Учитывая формулы (10.7) и (10.8) и выполняя соответствующие преобразования, получаем

(10.12)

Если относительная длина l/dтрубы трубопровода велика, то дополнительный член в скобках, равный 0,165 можно ввиду малости не учитывать.Однако, при уточненном расчете труб, длина которых соизмерима с l_нач этот член следует учитывать. Для начального участка трубы с плавным входом коэффициент Кориолиса αвозрастает от единицы до двух.