5.5.Первая форма уравнения Бернулли
Разделим это уравнение на δG - изменение силы тяжести элементарной струйки за времяδt, (см. формулу (5.8) , и произведя сокращения на
δG = ρ*g* V1*δS1*δt = ρ*g* V2*δS2*δt, получим
Сгруппировав члены, относящиеся к первому сечению, в левой части уравнения, а члены, относящиеся ко второму сечению, в правой, получим
Писать!"Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной несжимаемой жидкости (первая форма уравнения Бернулли)":
(5.12)
где z- геометрический напор,
Р/ρg- пьезометрический напор,
V2/2g- скоростной напор.
Это уравнение полного напора, так как члены, входящие в него имеют размерность длины было выведено Даниилом Бернулли в 1738 г.
Уравнение Бернулли (5.12) записано для двух произвольно взятых сечении струйки и выражает равенство полных напоров Нв этих сечениях. Так как сечения взяты произвольно, следовательно, и для любого другого сечения этой же струйки полный напор будет иметь одно и то же значение.
Для идеальной движущейся жидкости вдоль струйки тока сумма трех напоров: геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная.
На рис. 5.4 показано изменение всех напоров вдоль струйки.
Линия изменения уровней жидкости в пьезометрах называется пьезометрической линией.
Поскольку в уравнении Бернулли суммарный напор постоянен, из уравнения расхода следует: при уменьшении площади поперечного сечения струйки, скорость течения жидкости увеличивается и увеличивается скоростной напор, а пьезометрический напор уменьшается, если площадь струйки увеличивается, скорость уменьшается, а пьезометрический напор возрастает.
Например, если площадь поперечного сечения струйки в сечении 1 - 1 больше, чем в сечении 2 - 2 в 4 раза, скоростной напор увеличивается в 16 раз (рис. 5.4).
В сечении 3 - 3 та же площадь, что и сечение 1-1, и скоростные напоры одинаковы.
5.6. Вторая форма уравнения Бернулли.
Разделив исходное уравнение (5.11) на элементарный объем
δW =δQ*δt= δS1V1*δt = δS2V2*δt,
учитывая, что
δG = ρ*g*δW,δW = δG/ρg,
получим p1 - p2 +(z1-z2) * ρ*g = ρ* (V22- V21)/2. или
. (5.13)
Во второй форме члены уравнения Бернулли имеют размерность давления:
ρzg — весовое давление;
р — гидромеханическое давление;
ρv2/2 — динамическое давление.
5.7. Третья форма уравнения Бернулли.
Разделив исходное уравнение (5.11) на массу δm= ρ*g*δWэлементарного объема, равную
δm = ρ*( V1*δS1*δt) = ρ*( V2*δS2*δt)= δWρ = δG/g,аδG= gδm, преобразовав это уравнение, получим
(5.16)
Удельной энергией жидкости, называется отношение энергии жидкости к ее массе.
В третьей форме члены уравнения Бернулли имеют размерность энергии:
gz— удельная потенциальная энергия.
Частица жидкости массой δm, помещенная высотуz, обладает энергией равной (δmg)z, на единицу массы приходится удельная энергия
(δmg)z/δm =gz;
Р/ρ- удельная энергия давления жидкости.
Частица массой δmпри давленииробладает способностью подняться на высотуh = P/ρg, и ее потенциальная энергия увеличится на величину равную (δmg)h = δm(P/ρ), на единицу массы увеличение удельной потенциальной энергии
δm (Р/( ρ) / δm = р/ρ.
Сумма gz + р/ρявляется удельной потенциальной энергией жидкости;
V2/2- удельная кинетическая энергия жидкости.
Кинетическая энергия частицы массой δmравнаδm*V2/2, на единцу массыδm = V2/2.
Сумма Hg = zg+P/ρ+ V2/2 называется полной удельной механической энергией движущейся идеальной жидкости.
Энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль струйки полной удельной энергии жидкости.
Механическая энергия жидкости может иметь три формы: потенциальная энергия, энергия давления и кинетическая энергия.
Первая и третья формы механической энергии известны из механики, они свойственны твердым и жидким телам.
Энергия давления является специфической для движущихся жидкостей.В процессе движения идеальной жидкости одна форма энергии может преобразовываться в другую, однако полная удельная энергия идеальной жидкости при этом как следует из уравнения Бернулли, остается без изменений.
Энергию давления легко преобразовать в механическую работу. Простейшим устройством, с помощью которого осуществляют такое преобразование, является гидроцилиндр (рис. 5.5). При этом преобразовании каждая единица массы жидкости совершает работу, численно равную р/ρ.
Пусть площадь поршня равна s, его ходL, избыточное давление жидкости в левой полости цилиндра, необходимое для преодоления силыR,равнор =R/S, избыточное давление по другую сторону поршня равно нулю. Преодолевая силуRпри перемещении поршня из левого положения, давление совершает работуА = рSL. Расход жидкости, который необходимо подвести к цилиндру для совершения этой работы за времяt, равен объему цилиндра, т. е.Qt=W=SL.Удельная работа, приходящаяся на 1 кг массы,
е = А/m = pSL /( SLρ) = р/ρ.
