5.2. Расход. Уравнение расхода

Расходом называется количество жидкости, протекающее через живое сечение потока в единицу времени.Это количество можно измерить в единицах объема, веса, массы в связи, с чем различают расходы:

Q– объемный, (м³/с);

Q_G– весовой, (Н/с);

Q_m– массовый, (кг/с) .

Для элементарной струйки, имеющей малую площадь сечения, мгновенную скорость принимают одинаковой во всех точках сечения, расход для элементарной струйки:

Объемный - δQ=V*δS, (5.1)

Массовый - δQ_m=ρV*δS, (5.2)

Весовой - δQ_G=ρg*δQ, (5.3)

где V- мгновенная скорость в данной точке,δS– площадь сечения струйки.

Для потока конечных размеров в общем случае скорость имеет различное значение в разных точках сечения, поэтому расход равен сумме элементарных расходов струек в данном сечении.

(5.4)

Если использовать среднюю по сечению скорость V_ср=Q/S, то средний расход для струйки или потока равен

Q_ср = V_ср*S. (5.5)

5.3 Уравнение неразрывности потока.

Условие неразрывности потока основывается на законе сохранения вещества.

А также на следующих допущениях:

а) трубка тока имеет свойство непроницаемости для внешних, обтекающих ее потоков;

б) предположение о сплошности (неразрывности) среды для установившегося течения несжимаемой жидкости.

На этих основаниях можно утверждать, что объемный расход во всех сечениях элементарной струйки (см. рис.5.2) один и тот же.

Уравнение неразрывности для элементарной струйки (уравнение расхода для элементарной струйки).

δQ = V₁ *δS₁ = V₂ *δS₂ →const(вдоль струйки). (5.6) Уравнениенеразрывностидля потока,ограниченного непроницаемыми стенками (уравнение расхода для потока).

Q = V_ср1 *S₁ = V_ср2 *S₂ →const(вдоль потока), (5.6’)

где V_ср1 , V_{ср2 -} средние скорости.

Из этого уравнения (5.6') следует, что средние скорости в потоке несжимаемой жидкости обратно пропорциональны площадям сечений:

Уравнение расхода (5.6‘) является следствием общего закона сохранения вещества при условии сплошности (неразрывности) течения.

5.4. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

Установившееся течение идеальной жидкости происходит под действием одной массовой силы — силы тяжести. Для этого случая основное уравнение установившегося течения идеальной жидкости связывает между собой давление в жидкости и скоростьее течения.

Возьмем одну из элементарных струек, составляющих поток, выделим сечениями 1 и2 участок этой струйки произвольной длины (рис.5.3). Пусть площадь первого сечения равнаδS₁, скорость в немV₁, давлениеP₁, а высота от плоскости сравненияZ₁. Во втором сеченииδS₂, V₂ , P₂иZ₂.

За бесконечно малый отрезок времени δtвыделенный участок струйки переместится в положение 1’ – 2’.

Применим к массе жидкости в объеме участка струйки теорему о кинетической энергии: работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела.

На жидкость действуют силы тяжести и силы давления, нормальные к поверхностям сечений рассматриваемого участка струйки.

Используя формулировку теоремы, подсчитаем работу сил давления, сил тяжести и изменение кинетической энергии участка струйки за время δt:

(mV₂²)/2 - (m V₁²)/2 = G*( Z₂- Z₁) = G*h

Работа силы давления в первом сечении положительна, так как направление силы совпадает с направлением перемещения, и выражается как произведение силы p₁*δSна путьV₁δt:

(p₁*δS₁)*(V₁δt)

Работа силы давления во втором сечении имеет знак минус, так как направление силы противоположно направлению перемещения, и определяется выражением

- (p₂*δS₂) *(V₂δt).

Силы давления, действующие по поверхности струйки, работы не производят, так как они нормальны к перемещениям.

Работа сил давления равна

δA = (p₁*δS₁) *( V₁δt)— (p₂*δS₂) *(V₂δt).(5.7)

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии выделенного объема струйки. Из потенциальной энергии жидкости в объеме 1 - 2 вычтем потенциальную энергию жидкости в объеме1’- 2’. При этом энергия промежуточного объема1’- 2сократится, и останется лишь разность энергии элементов1- 1’, 2- 2’.

По уравнению расходов (закон неразрывности) (5.6’) объемы и силы тяжести заштрихованных элементов 1 -1’и2 - 2’равны между собой:

δG = ρ*g* V₁*δS₁*δt = ρ*g* V₂*δS₂*δt. (5.8)

Тогда работа силы тяжести выразится как произведение разности высот на силу тяжести δG:

(z₁-z₂) *δG.(5.9)

Чтобы подсчитать приращение кинетической энергии рассматриваемого участка струйки за время δt, необходимо из кинетической энергии объема1’- 2’вычесть кинетическую энергию объема1 - 2. При вычитании кинетическая энергия промежуточного объема1’ - 2сократится, и останется лишь разность кинетических энергий элементов2 — 2’и1 - 1’, масса каждого из которых равнаδG/g.

Таким образом, приращение кинетической энергии на участке струйки равно

(V₂²- V₁²)* δG/(2g), (5.10)

Сложив работу сил давления (см. уравнение 5.7) с работой силы тяжести (5.9) и приравняв эту сумму приращению кинетической энергии (5.10), получим исходное уравнение для трех видов уравнения Бернулли.

(p₁*δS₁) *( V₁δt)— (p₂*δS₂) *( V₂δt) +(z₁-z₂) *δG=(V²₂- V²₁)* δG/(2g). (5.11).

сохранять на доске!