3 Этап. Измерение тесноты связи

Измерение тесноты связи так же, как и в корреляционном анализе, основано на расчете дисперсий для аналитической группировки. Однако составляющие общей дисперсии вычисляются несколько иначе:

- общая дисперсия, измеряющая общую вариацию результативного признака за счет действия всех факторов:

. (8.7)

- факторная (теоретическая) дисперсия, измеряющая вариацию результативного признака у за счет действия факторного признака х:

. (8.8)

- остаточная дисперсия, характеризующая вариацию признака у за счет всех факторов, кроме х (т.е. при исключенном х):

. (8.9)

Согласно правилу сложения дисперсий:

. (8.10)

Оценивается теснота линейной связи с помощью ряда показателей:

1. Коэффициент детерминации – представляет собой удельный вес факторной дисперсии в общей и характеризует не всю вариацию у от факторного признака х, а лишь ту ее часть, которая соответствует линейному уравнению регрессии, т.е. показывает удельный вес вариации результативного признака, линейно связанной с вариацией факторного признака:

. (8.11)

2. Индекс корреляции (теоретическое корреляционное отношение) – характеризует тесноту корреляционной зависимости, т.е. степень ее приближения к функциональной связи:

. (8.12)

Если R = 1 – связь функциональная (, =0 – эмпирически значения у_i совпадают с у_х, линия регрессии проходит через все эмпирические точки);

R = 0 – связь отсутствует (=0 – все теоретические значения у_х совпадают со средними значениями у и линия регрессии проходит параллельно оси абсцисс);

R  0,3 – связь слабая;

R  0,7 – связь тесная.

Индекс корреляции пригоден для измерения тесноты связи при любой ее форме. Выравнивая у_i по разным функциям, можно по величине дисперсии, характеризующей остаточную вариацию (²_у/х) судить о том, какая функция в наилучшей степени выравнивает эмпирическую линию связи (предпочтение отдается форме связи с меньшим значением остаточной дисперсии ²_у/х).

3. Линейный коэффициент корреляции – частный случай общего индекса корреляции. Его применение ограничено только линейной формой связи, однако он характеризует не только тесноту, но и направление связи:

. (8.13)

После преобразований он может быть представлен в более удобном виде:

. (8.14)

r=-1…0 – связь обратная; r=0…+1 – связь прямая;

r1 – связь близка к функциональной.

Важно! При правильном подсчете численные значения индекса корреляции и линейного коэффициента корреляции практически совпадают.

Тогда коэффициент регрессии для уравнения прямой можно определить по формуле:

. (8.15)

4 Этап. Проверка существенности связи

При проверке существенности связи в регрессионном анализе применяются те же критерии, что и в аналитической группировке – критерий Фишера:

или . (8.16)

где v₁=s-1, v₂=n-s;

n – число единиц совокупности;

s – число параметров уравнения регрессии (для уравнения прямой s=2).

Полученные значения F_расч сравниваются с критическими значениями (табличными) F_кр: если F_расч  F_кр , то существенность связи подтверждается.

Следует учитывать, что в регрессионной модели, как и в аналитической группировке, результаты проверки существенности связи являются корректными лишь в том случае, если признак у имеет распределение, близкое к нормальному.

Пример.

1 этап. На основании рисунка 10.1 предположим, что связь между стажем работы и уровнем оплаты труда рабочих описывается линейным уравнением регрессии .

2 этап. Для расчета коэффициентов a₀, a₁ построим таблицу вспомогательных расчетов 8.4.

Таблица 8.4.

Таблица вспомогательных расчетов для уравнения регрессии

№ рабочего	№ рабочего п/п i	Стаж работы рабочего, лет xi	Среднемесячный уровень оплаты труда, тыс. руб. yi	Вспомогательные расчеты
				xi ∙ yi		Выровненные значения по уравнению прямой
1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	0	3,5	0	0	3,445	0,0030
2	2	0	3,7	0	0	3,445	0,0649
3	3	0	3,8	0	0	3,445	0,1259
18	4	0	3,5	0	0	3,445	0,0030
28	5	0	3,7	0	0	3,445	0,0649
4	6	1	3,5	3,5	1	3,841	0,1161
5	7	1	3,8	3,8	1	3,841	0,0017
6	8	1	3,9	3,9	1	3,841	0,0035
7	9	2	4,1	8,2	4	4,236	0,0186
8	10	2	4,5	9	4	4,236	0,0695
20	11	2	4,1	8,2	4	4,236	0,0186
24	12	2	4,1	8,2	4	4,236	0,0186
9	13	3	4,6	13,8	9	4,632	0,0010
10	14	3	4,6	13,8	9	4,632	0,0010
11	15	3	4,7	14,1	9	4,632	0,0046
12	16	3	4,7	14,1	9	4,632	0,0046
13	17	3	4,7	14,1	9	4,632	0,0046
19	18	3	4,6	13,8	9	4,632	0,0010
23	19	3	3,7	11,1	9	4,632	0,8684
30	20	3	4,7	14,1	9	4,632	0,0046
14	21	4	4,9	19,6	16	5,027	0,0162
15	22	4	4,7	18,8	16	5,027	0,1072
16	23	4	4,9	19,6	16	5,027	0,0162
17	24	4	4,5	18	16	5,027	0,2782
25	25	4	4,5	18	16	5,027	0,2782
21	26	5	5,0	25	25	5,423	0,1789
26	27	5	5,2	26	25	5,423	0,0497
22	28	5	6,0	30	25	5,423	0,3329
27	29	5	6,3	31,5	25	5,423	0,7692
29	30	5	6,5	32,5	25	5,423	1,1600
	Сумма	80	135	392,7	296	135	4,585
	Среднее	2,67	4,5	13,09	–	4,5	0,164

Составим систему нормальных уравнений:

Решив систему уравнений, получаем значения параметров:

=3,445 ; =0,396.

Таким образом, уравнение связи принимает вид: . Подставляя в него поочередно все значения стажа работы x_i, получаем теоретические значения оплаты труда (выровненные по уравнению прямой) (графа 3 таблицы 8.4). Правильность произведенных расчетов подтверждает тот факт, что сумма теоретических уровней ряда равна сумме фактических уровней:

135 тыс. руб.

Параметр – коэффициент регрессии – показывает, что при изменении стажа работы на 1 год средний размер оплаты труда увеличивается в среднем на 0,396 тыс. руб. (396 руб.).

Коэффициент эластичности показывает, что при увеличении стажа работы на 1% размер оплаты труда увеличивается в среднем на 0,23%.

Оценим среднюю квадратическую ошибку уравнения регрессии ():

тыс. руб.,

где s – число параметров уравнения регрессии (для уравнения прямой s=2).

Поскольку  _у (_у= тыс. руб.), то использование данного уравнения регрессии является целесообразным.

Отдельно оценим средние квадратические ошибки параметров уравнения регрессии по формулам (10.6):

тыс. руб.; тыс. руб./год,

где (лет);

Нанесем фактические и теоретические значения оплаты труда, а также линию среднего размера оплаты труда на график (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Эмпирические линии регрессии фактических и теоретических значений оплаты труда рабочих в зависимости от стажа работы, постоянная средняя линия

Как видно из рисунка 8.2, переменная средняя сильно отличается от постоянной средней, что говорит о значительном влиянии фактора х (стажа работы) на результативный признак y (уровень оплаты труда). Однако несовпадение линии теоретических и фактических значений уровня оплаты говорит о том, что связь между стажем и уровнем оплаты труда не функциональная (не полная).

Измерим, насколько связь близка к функциональной.

3 этап. Измерение тесноты связи

Рассчитаем все виды дисперсий:

- общая дисперсия, измеряющая общую вариацию результативного признака за счет действия всех факторов:

- факторная (теоретическая) дисперсия, измеряющая вариацию результативного признака у за счет действия факторного признака х:

- остаточная дисперсия, характеризующая вариацию признака у за счет всех факторов, кроме х (т.е. при исключенном х):

Проверим, выполняется ли правило сложения дисперсий:

0,152 + 0,432 = 0,584 (верно).

Оценим тесноту связи численно с помощью ряда показателей:

1. Коэффициент детерминации:

- удельный вес вариации результативного признака (уровня отплаты труда), линейно связанной с вариацией факторного признака (стажа работы), составляет 74%.

2. Индекс корреляции (теоретическое корреляционное отношение) составляет:

- поскольку численное значение индекса корреляции больше 0,7, то линейная связь между стажем работы и уровнем оплаты труда рабочих тесная.

3. Линейный коэффициент корреляции:

,

где ;

(лет); тыс. руб.;

(лет);

тыс. руб.

.

Поскольку линейный коэффициент корреляции положителен, то связь между признаками прямая, т.к. он больше 0,7 – связь тесная.

4 этап. Проверка существенности связи с использованием критерия Фишера:

где s – число параметров уравнения регрессии (у прямой два параметра).

В данном примере расчетное значение критерия Фишера F_кр =4,2. Поскольку полученное значение F_расч  F_кр , то существенность линейной связи между стажем работы и размером оплаты труда рабочих подтверждается.