3.2. Расчет медианы в дискретных и интервальных рядах по накопленным частотам

1). В дискретном вариационном ряду распределения (ДВР) медиана определяется по ряду накопленных частот.

Поиск медианы разбивается на два шага:

1 шаг. Определяется середина вариационного ряда, т.е. порядковый номер (местоположение) медианы в дискретном вариационном ряду:

. (5.15)

2 шаг. Если порядковый номер медианы – целое число, то значение признака у выявленной единицы и является медианой. Если порядковый номер медианы – нецелое число, то медианой является варианта, рассчитанная как среднее арифметическое простое из двух смежных центральных вариант в дискретном ряду.

В нашем примере число единиц совокупности четное – 30 компаний (табл. 3.3′, дополнительно в графах 5, 6 рассчитаны накопленные частоты и частости).

Таблица 3.3′.

Дискретный ряд распределения 30 компаний мира 2008 г. по размеру годового дохода

Номер группы j	Группы компаний по размеру годового дохода (100 млн. $) xj	Число компаний в группе		Накопленные частоты Fj	Накопленные частости, % Dj
		абсолютное (частота) fj	относительное (частость), % dj
1	2	3	4	5	6
1	0,95	1	3,3	1	3,3
2	0,98	2	6,7	3	10
3	0,99	2	6,7	5	16,7
4	1,00	1	3,3	6	20
5	1,02	1	3,3	7	23,3
6	1,03	1	3,3	8	26,7
7	1,04	2	6,7	10	33,3
8	1,05	2	6,7	12	40
9	1,06	2	6,7	14	46,7
10	1,08	1	3,3	15	50
11	1,10	1	3,3	16	53,3
12	1,14	1	3,3	17	56,7
13	1,16	2	6,7	19	63,3
14	1,17	1	3,3	20	66,7
15	1,18	1	3,3	21	70
16	1,19	2	6,7	23	76,7
17	1,21	1	3,3	24	80
18	1,23	1	3,3	25	83,3
19	1,30	1	3,3	26	86,7
20	1,33	1	3,3	27	90
21	1,38	1	3,3	28	93,3
=22	1,41	2	6,7	30	100
	ВСЕГО	п=30	100	–	–

1 шаг. Определение номера медианы по формуле (5.15):

компаний. Таким образом, медиана попадает в середину между компаниями № 15 и 16: компании с 1 по 15 включительно входят в первую половину совокупности, компании с 16 по 30 – во вторую половину совокупности.

2 шаг. Расчет медианы по формуле средней арифметической простой.

Значение годового дохода 15 и 16 компаний, согласно ряду накопленных частот (частостей), составляет 1,08 и 1,10 сотен млн. $. Тогда медиана равна:

сотен млн. $.

Вывод: половина компаний, стоящих в ранжированном массиве до 15, имеют размер годового дохода менее 1,09 сотен млн. $, половина компаний, стоящих в ряду после 15, – более 1,09 сотен млн. $.

2). В интервальном вариационном ряду распределения (ИВР) медиана определяется по ряду накопленных частот.

Поиск медианы разбивается на три шага:

1 шаг. Определяется середина вариационного ряда, т.е. местоположение (порядковый номер) медианы в ИВР по формуле (5.15).

2 шаг. Определяется номер медианного интервала по ряду накопленных частот.

Медианным называется интервал, кумулятивная (накопленная) частота которого равна или впервые превышает номер медианы.

3 шаг. Определяется численное значение медианы в медианном интервале по формуле:

, (5.16)

где – нижняя граница медианного интервала;

– ширина медианного интервала;

– частота каждого -го интервала;

– частота медианного интервала;

– накопленная частота интервала, пред­шествующего медианному;

Пример. Рассчитаем медиану по накопленным частотам на основании данных таблицы 3.4'.

1 шаг. Определим порядковый номер медианы в ИВР по формуле (5.15):

.

2 шаг. Определим номер медианного интервала по ряду накопленных частот. По данным столбца 4 таблицы 3.4′ видно, что накопленная частота второго интервала впервые превышает номер медианы (,5). Значит, медианным является интервал №2.

3 шаг. Определим численное значение медианы в медианном интервале по формуле (5.16):

Вывод: половина компаний, стоящих в ранжированном массиве до 15, имеют размер годового дохода меньше 1,101 сотен млн. $. Половина компаний, стоящих в ряду после 16 включительно, имеют размер годового дохода больше 1,101 сотен млн. $.

Сведем результаты всех расчетов в статистическую таблицу 5.1.

Таблица 5.1.

Значения средней, моды и медианы размера годового дохода 30 компаний мира для различных типов данных, сотни млн. $

Показатель	Массив исходных (несгруппированных) и массив ранжированных данных (МИД и МРД)	Ряды распределения
		Дискретный вариационный ряд (ДВР)	Равноинтервальный вариационный ряд (ИВР)
1	2	3	4
Среднее значение признака	1,129 (средняя арифметическая простая)	1,129 (средняя арифметическая взвешенная)	1,134 (средняя арифметическая взвешенная)
Мода - по частотам	Мода не определяется по причине отсутствия частот	0,98; 0,99; 1,04; 1,05; … ; 1,41	1,057
Медиана - по накопленным частотам	Медина не определяется по причине отсутствия частот и накопленных частот	1,09	1,101

Вывод. Как видно из таблицы 5.1, средние, модальные и медианные значения признака для массивов несгруппированных и ранжированных данных, а также для различных видов рядов распределения (ДВР, ИВР) не совпадают. Это объясняется тем, что при вычислении указанных величин по интервальным рядам распределения в формулах принимают участие границы интервалов, что снижает точность расчетов. Наиболее достоверные значения средней, моды и медианы признака дают несгруппированные и ранжированные данные, а также дискретные вариационные ряды.