Вопрос 5. Определение необходимой численности выборки

Иногда в статистической практике при организации выборочного наблюдения предполагают заранее заданными величину допустимой ошибки выборки и вероятность ответа р. Неизвестным, следовательно, остается тот минимальный объем выборки, который должен обеспечить требуемую точ­ность. Из формулы для повторного отбора получим , тогда численность выборки при повторном отборе …(7.14)

Аналогично численность выборки определяется для доли и бесповторного отбора (табл. 7.3).

Таблица 7.3.

Формулы расчета необходимой численности выборочной совокупности для различных видов отбора

Способ отбора	Для средней	Для доли
Повторный	(7.14)	(7.15)
Бесповторный	(7.16)	(7.17)

Основное затруднение при расчете численности выборки заключается в определении величин и =⁵. До проведения выборочного наблюдения они могут быть неизвестны, поэтому вместо точного их значения принимают приближенные, установленные на основании уже проведенного другого наблюдения или нескольких пробных, избирая из найденных результатов наибольшие значения и .

Важно! Следует знать, что при расчетах численности выборочной совокупности правило округления дробных чисел, применяющееся в математике, не действует. В данном случае все дробные числа следует округлять до большего значения. Только в этом случае ошибка репрезентативности не превысит своего предельного значения.

Пример (комплексный). Имеются данные о стоимости собственных оборот­ных средств (СОС) предприятий области за истекший финансовый год (табл. 7.4).

Таблица 7.4.

Стоимость собственных оборотных средств 150 производственных предприятий за прошлый год (млн. руб.)

№ пред.	Стоимость СОС		№ пред.	Стоимость СОС		№ пред.	Стоимость СОС		№ пред.	Стоимость СОС		№ пред.	Стоимость СОС
1	2		1	2		1	2		1	2		1	2
1	1 333		31	1 214		61	1 168		91	1 363		121	1 147
2	1 032		32	1 122		62	1 161		92	1 148		122	1 102
3	1 080		33	1 123		63	1 089		93	1 168		123	1 302
4	1 004		34	1 025		64	1 007		94	1 061		124	1 184
5	1 008		35	1 083		65	1 030		95	1 123		125	1 251
6	1 116		36	1 166		66	1 099		96	1 025		126	1 306
7	1 185		37	1 242		67	1 197		97	1 083		127	1 193
8	1 120		38	1 087		68	1 186		98	1 266		128	1 386
9	1 147		39	1 104		69	1 198		99	1 242		129	1 031
10	1 102		40	1 177		70	1 072		100	1 116		130	1 167
11	1 002		41	1 192		71	1 184		101	1 177		131	1 367
12	1 284		42	1 072		72	1 060		102	1 092		132	1 207
13	1 251		43	1 178		73	1 112		103	1 072		133	1 295
14	1 076		44	1 004		74	1 120		104	1 178		134	1 099
15	1 193		45	1 008		75	1 247		105	1 104		135	1 197
16	1 086		46	1 116		76	1 102		106	1 108		136	1 120
17	1 231		47	1 185		77	1 002		107	1 016		137	1 047
18	1 135		48	1 220		78	1 077		108	1 181		138	1 102
19	1 181		49	1 011		79	1 120		109	1 220		139	1 084
20	1 122		50	1 188		80	1 231		110	1 281		140	1 157
21	1 281		51	1 218		81	1 111		111	1 333		141	1 068
22	1 333		52	1 209		82	1 140		112	1 288		142	999
23	1 232		53	1 188		83	1 215		113	1 018		143	1 311
24	1 235		54	1 094		84	1 284		114	1 209		144	1 288
25	1 049		55	1 135		85	1 036		115	1 120		145	1 218
26	1 188		56	1 114		86	1 012		116	1 147		146	1 009
27	1 258		57	1 077		87	1 147		117	1 102		147	1 204
28	1 273		58	1 079		88	1 093		118	1 035		148	1 072
29	1 179		59	1 210		89	1 163		119	1 114		149	1 184
30	1 085		60	1 248		90	1 114		120	1 277		150	1 060

Требуется:

1. Сформировать 20%-ную выборочную совокупность способом случайного бесповторного отбора.

2. Рассчитать:

а) среднее значение собственных оборотных средств предприятий в выборочной совокупности;

б) долю предприятий в выборочной совокупности с размером собственных оборотных средств, равной или выше 1250 млн. руб.

3. С доверительной вероятностью 0,954 определить:

а) пределы выборочного среднего значения признака (стоимости собственных оборотных средств) в генеральной совокупности;

б) пределы выборочной доли в генеральной совокупности.

4. С той же доверительной вероятностью рассчитать необходимый объем выборки, при котором:

а) предельная ошибка выборочного среднего значения сократиться в четыре раза;

б) предельная ошибка выборочной доли составит 1%.

Решение

1. Определим необходимый объем выборки: 20% от 150 предприятий – это 30 предприятий.

В случайном порядке отберем для исследования и ранжируем по возрастанию стоимости собственных оборотных средств 30 предприятий (табл. 7.5).

Таблица 7.5.

Выборочные ранжированные данные по стоимости собственных оборотных средств тридцати производственных предприятий (млн. руб.)

№ предприятия	Собственные оборотные средства предприятия		№ предприятия	Собственные оборотные средства предприятия		№ предприятия	Собственные оборотные средства предприятия
1	2		1	2		1	2
44	1 004		139	1 084		68	1 186
49	1 011		10	1 102		127	1 193
34	1 025		90	1 114		147	1 204
2	1 032		46	1 116		52	1 209
118	1 035		95	1 123		83	1 215
25	1 049		82	1 140		27	1 258
94	1 061		9	1 147		98	1 266
58	1 079		40	1 177		21	1 281
3	1 080		108	1 181		144	1 288
35	1 083		149	1 184		111	1 333

2. Рассчитаем среднее значение собственных оборотных средств предприятий в выборочной совокупности и долю предприятий с размером собственных оборотных средств, равным или выше 1250 млн. руб.

а). Выборочные данные ранжированы. Это позволяет применить для расчета средней стоимости собственных оборотных средств 30 предприятий формулу средней арифметической простой (5.3):

млн. руб.;

б). Стоимость собственных оборотных средств каждого из 30 предприятий либо ниже, либо равна и выше 1250 млн. руб. Следовательно, мы имеем дело с альтернативным признаком.

Долю единиц, обладающих изучаемым признаком (стоимостью собственных оборотных средств, равной и выше 1250 млн. руб.) в выборочной совокупности рассчитаем по формуле (7.1): . Здесь n=30 – численность отобранных для исследования предприятий; w – число предприятий из 30 со стоимостью СОС равной или выше 1250 млн. руб. По графе 1 таблицы 7.5 посчитаем, сколько таких предприятий. Их оказалось всего 6. Следовательно, доля единиц, обладающих изучаемым признаком, равна:

.

3. С вероятностью р=0,954 определим пределы выборочной средней и выборочной доли в генеральной совокупности.

а). Пределы, за которые с доверительной вероятностью 0,954 не выйдет среднее значение признака в генеральной совокупности, можно определить по формуле (7.12):

.

Среднее значение признака в выборочной совокупности () составляет 1142 млн. руб. Осталось рассчитать предельную ошибку выборочного наблюдения: .

Критерий доверия (t) определим на основе данных таблицы 7.2. Поскольку по условию задачи доверительная вероятность р=0,954, то .

Среднюю ошибку выборки () для собственно случайного бесповторного отбора следует рассчитывать по формуле (7.4):

,

где – общая дисперсия изучаемого признака (стоимость собственных оборотных средств предприятия) в пределах выборочной совокупности.

Поскольку данные не сгруппированы, то для расчета общей дисперсия можно воспользоваться формулой (6.5):

Тогда средняя ошибка репрезентативности генерального среднего будет равна:

млн. руб.

Предельная ошибка репрезентативности генерального среднего:

млн. руб.

Таким образом, с вероятностью 0,954 (95,4%) можно утверждать, что среднее значение стоимости собственных оборотных средств в генеральной совокупности 150 предприятий находится в интервале:

млн. руб. Иначе говоря, генеральное среднее находится в диапазоне от 1113 до 1171 млн. руб.

б). Пределы, за которые с доверительной вероятностью 0,954 не выйдет генеральная доля, можно рассчитать по формуле (7.13):

.

В свою очередь, .

Для собственно случайного бесповторного отбора средняя ошибки репрезентативности выборочной доли определяется по формуле (7.5):

,

где d – доля альтернативного признака в выборочной совокупности, коэфф.

Доля единиц, обладающих изучаемым признаком (стоимостью собственных оборотных средств, равной и выше 1250 млн. руб.) в выборочной совокупности составляет d = 0,2 (20%). Подставим имеющиеся данные в формулу:

.

Предельная ошибка репрезентативности генеральной доли составляет:

Таким образом, с вероятностью 95,4% можно утверждать, что в генеральной совокупности 150 предприятий доля предприятий со стоимостью собственных оборотных средств, равной или выше 1250 млн. руб., находится в пределах от 7 до 33%:

или .

4. С доверительностью вероятностью 0,954 рассчитаем необходимый объем выборки (n), при котором:

а). Предельная ошибка выборочного среднего значения сократится в четыре раза, т.е. составит 29 : 4 = 7,25 млн. руб.

При бесповторном отборе необходимая численность выборочной совокупности, обеспечивающая заданное значение предельной ошибки репрезентативности генерального среднего, определяется по формуле (7.16):

.

Следовательно, для того, чтобы с вероятностью 95,4% можно было утверждать, что в генеральной совокупности 150 предприятий средняя стоимость их собственных оборотных средств находится в пределах от 1134,75 до 1149,25 млн. руб. () для исследования следовало бы отобрать не менее 120 предприятий из 150.

б). Предельная ошибка выборочной доли составит (1%).

Формула (7.17) позволяет определить необходимую численность выборки (n) для бесповторного отбора, обеспечивающую заданное значение предельной ошибки репрезентативности генеральной доли альтернативного признака:

.

Таким образом, для того, чтобы с вероятностью 95,4% можно было утверждать, что в генеральной совокупности 150 предприятий доля предприятий со стоимостью собственных оборотных средств, равной или выше 1250 млн. руб., составляет от 19 до 21% () для исследования следовало бы отобрать не менее 147 предприятий из 150, т.е. провести практически сплошное обследование предприятий.