Вопрос 2. Виды дисперсий в аналитических группировках. Правило сложения дисперсий

Определить влияние отдельных факторов, характеризующих колеблемость признака в пределах совокупности, возможно посредством применения метода аналитических группировок. Его сущность заключается в разбиении совокупности на группы, однородные по признаку-фактору, и расчете трех видов дисперсий:

1. Общая дисперсия – средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от общего среднего значения. Общая дисперсия характеризует вариацию признака, которая зависит от всех факторов:

. (6.12)

2. Межгрупповая (факторная) дисперсия – отражает вариацию признака под влиянием вариации признака-фактора, положенного в основание группировки (колеблемость групповых средних около общей средней ).

, (6.13)

где – номер интервала группировки.

3. Средняя из внутригрупповых дисперсий (остаточная) () характеризует случайную вариацию в каждой группе, она возникает под влиянием других, неучтённых факторов:

, (6.14)

, (6.15)

где – i-тая варианта, попавшая в j-тый интервал группировки.

Важно! Правило сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме межгрупповой (факторной) дисперсии и средней из внутригрупповых (остаточной) дисперсии: . (6.16) Практическое значение этого правила заключается в том, что зная две из трех дисперсии всегда можно определить третью.

Вопрос 3. Дисперсия альтернативного признака

Альтернативным называется признак, который может принимать только два значения: «да» (1) или «нет» (0).

Альтернативные признаки характеризуют любой случайный эксперимент, исход «1» которого часто называют «успехом», а исход «0» - неудачей. Вероятность появления успеха обозначается p (или d), тогда неудача произойдет с вероятностью:

. (6.20)

Среднее значение альтернативного признака равно вероятности появления успеха:

. (6.21)

Дисперсия альтернативного признака рассчитывается по формуле полной вероятности:

. (6.22)

Среднее квадратическое отклонение определяется обычным способом:

. (6.22)

Пример. Партия деталей цеха №1 подвергается сплошному обследованию на наличие брака. Из 100 выпущенных изделий 80 оказались годными к эксплуатации и 10 – бракованными. Требуется определить среднее значение годных деталей в партии с учетом вариации альтернативного признака.

1. Определим вероятность появления «удачного» события – доли годных к эксплуатации деталей в общем выпуске:

(80%).

Тогда вероятность наступления «неудачного» события – доли бракованных деталей в общем выпуске – может быть определена одним из двух способов:

а) по формуле (6.20): =1 – 0,8=0,2 (20%);

б) непосредственным расчетом: (20%).

2. По формуле (6.21) определяем, что среднее значение готовой продукции в выпуске =80%.

3. По формуле (6.22) рассчитаем дисперсию альтернативного признака:

, тогда среднеквадратическое отклонение:

(4%).

Ответ: в среднем в партии из 100 деталей количество годных к эксплуатации деталей составляет 80% при среднем квадратическом отклонении 4% (т.е. в общем случае процент годных к использованию деталей находится в интервале от 76 до 84%).