2.2. Эмпирические методы корреляционного анализа

Тесноту связи, наряду с корреляционным отношением, можно оценить и посредством использования других, более простых показателей.

1. Коэффициент Фехнера:

, (8.1)

где С – совпадение знаков отклонений индивидуальных значений факторного признака от среднего значения и результативного признака от среднего значения: и или и ;

Н – несовпадение знаков отклонений: и или и .

Знак при коэффициенте Фехнера характеризует направление связи:

«+» – связь прямая; «-» – связь обратная.

Численное значение показывает тесноту связи:

если 1 связь тесная; если -1 связь слабая.

2. Коэффициент корреляции рангов Спирмена:

, (8.2)

где d = Р_x - Р_y – разница рангов по двум признакам;

Р_x , Р_y – ранг по признаку x и y соответственно;

– количество рангов.

Для расчета этого показателя случайные величины х и у нумеруются по отдельности в порядке возрастания (или убывания), т.е. им присваивается определенный ранг (Р_x и Р_y) – порядковый номер в ряду.

Важно! Если встречается несколько одинаковых значений х (или у), то каждому значению присваивается ранг, равный частному от деления суммы рангов, приходящихся на эти значения, на число этих равных значений.

Затем ранги отдельных значений факторного признака Р_x сопоставляют с рангами значений результативного признака Р_y.

Следует отметить, что коэффициент корреляции рангов Спирмена () менее точен по сравнению с эмпирическим корреляционным отношением (): если он получает крайние значения 0 и 1, то нельзя высказывать утверждение о функциональной связи между признаками или ее абсолютном отсутствии. Во всех других случаях, т.е. когда  не принимает крайних значений, он бывает довольно близким к  и позволяет довольно точно судить о тесноте связи между х и у.

Пример. Воспользуемся данными таблицы 8.1 для расчета коэффициентов Фехнера и Спирмена (табл. 8.3):

Табельный номер рабочего	Факторный признак - стаж работы, лет xi	Результативный признак – среднемесячный уровень оплаты труда, тыс. руб. yi	Порядковый номер рабочего в ряду по возрастанию факторного признака	Порядковый номер рабочего в ряду по возрастанию результативного признака	Расчетные данные
					Для расчета коэффициента Фехнера			Для расчета коэффициента Спирмена
							С / Н	Рх	Ру	d=Рх- Ру	d2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	0	3,5	1	1	–	–	С	3	2	1	1
2	0	3,7	2	4	–	–	С	3	5	-2	4
3	0	3,8	3	7	–	–	С	3	7,5	-4,5	20,25
18	0	3,5	4	2	–	–	С	3	2	1	1
28	0	3,7	5	5	–	–	С	3	5	-2	4
4	1	3,5	6	3	–	–	С	7	2	5	25
5	1	3,8	7	8	–	–	С	7	7,5	-0,5	0,25
6	1	3,9	8	9	–	–	С	7	9	-2	4
7	2	4,1	9	10	–	–	С	10,5	11	-0,5	0,25
8	2	4,5	10	13	–	0	Н	10,5	14	-3,5	12,25
20	2	4,1	11	11	–	–	С	10,5	11	-0,5	0,25
24	2	4,1	12	12	–	–	С	10,5	11	-0,5	0,25
9	3	4,6	13	16	+	+	С	16,5	17	-0,5	0,25
10	3	4,6	14	17	+	+	С	16,5	17	-0,5	0,25
11	3	4,7	15	19	+	+	С	16,5	21	-4,5	20,25
12	3	4,7	16	20	+	+	С	16,5	21	-4,5	20,25
13	3	4,7	17	21	+	+	С	16,5	21	-4,5	20,25
19	3	4,6	18	18	+	+	С	16,5	17	-0,5	0,25
23	3	3,7	19	6	+	–	Н	16,5	5	11,5	132,25
30	3	4,7	20	22	+	+	С	16,5	21	-4,5	20,25
14	4	4,9	21	24	+	+	С	23	24,5	-1,5	2,25
15	4	4,7	22	23	+	+	С	23	21	2	4
16	4	4,9	23	25	+	+	С	23	24,5	-1,5	2,25
17	4	4,5	24	14	+	0	Н	23	14	9	81
25	4	4,5	25	15	+	0	Н	23	14	9	81
21	5	5,0	26	26	+	+	С	28	26	2	4
26	5	5,2	27	27	+	+	С	28	27	1	2
22	5	6,0	28	28	+	+	С	28	28	0	0
27	5	6,3	29	29	+	+	С	28	29	-1	1
29	5	6,5	30	30	+	+	С	28	30	-1	1
Сумма	80	135	×	×	×	×	×	×	×	×	465
Среднее	2,67	4,5	×	×	×	×	×	×	×	×	×

Коэффициент Фехнера – связь прямая тесная.

Расчет коэффициента Спирмена следует предварить расстановкой рангов факторного и результативного признаков (графы 4 и 5 таблицы 8.3).

Как видим, у рабочих № 1, 2, 3, 18 и 28 стаж работы x_i одинаков и составляет 0 лет. Значит, и ранг по факторному признаку (Р_х) у них должен быть одинаковым. Определим его как простое среднее из порядковых номеров этих пяти рабочих в ранжированном по факторному признаку ряду (графа Г таблицы 8.3): . Аналогично одинаковый ранг у следующих трех рабочих: и т.д.

Аналогично расставляются ранги и для результативного признака. В этом случае расстановка рангов Р_у осуществляется на основе порядковых номеров рабочих, находящихся в ранжированном массиве по возрастанию результативного признака – оплаты труда (графа Д таблицы 8.3). Тогда ранги будут такими, как приведены в графе 5 таблицы 8.3.

Коэффициент Спирмена – связь тесная.