Вопрос 4. Показатели дифференциации признака в ряду распределения

Медиана – это значение признака, которое делит объем изучаемой совокупности пополам. Иначе медиану называют квантилем порядка 1/2. Помимо медианы, в статистическом анализе рядов распределения изучаются квантили и более низких порядков: квартили, квинтили, децили и т.д. Квартили (Q₁, Q₂=Me, Q₃) делят упорядоченную совокупность на 4 равные части, квинтили (Qv₁, Qv₂, Qv₃, Qv₄) – на 5 и децили – на 10. Порядок расчета этих величин для дискретных и интервальных рядов распределения аналогичен порядку расчета медианы, однако в числителе дроби множитель 1/2 заменяется на множитель 1/4 , 1/5 и 1/10 соответственно.

Расчет квартилей и децилей обычно дополняется определением квартильного и децильного коэффициентов дифференциации, коэффициентом фондовой дифференциации.

Квартильный коэффициент дифференциации:

. (5.24)

Децильный коэффициент дифференциации:

. (5.25)

Квартильный и децильный коэффициенты не совсем точно измеряют уровень дифференциации в ряду распределения, т.к. сопоставляются только минимальное и максимальное квартильные или децильные значения признака. Более точно уровень дифференциации измеряется путем сопоставления средних уровней, полученных из 10% наибольших и наименьших значений признака в совокупности. Такой показатель называется коэффициентом фондовой дифференциации:

, (5.26)

где  – сумма значений признака 10% самых крупных единиц в совокупности;

– сумма значений признака 10% самых мелких единиц в совокупности;

– число самых мелких и самых крупных единиц совокупности.

Тема 6. Статистический анализ вариации признака

1. Сущность и виды показателей вариации

2. Виды дисперсий в аналитических группировках. Правило сложения дисперсий

3. Дисперсия альтернативного признака

Вопрос 1. Сущность и виды показателей вариации

Средние величины дают обобщающую характеристику совокупности по варьирующим признакам, но большое теоретическое и практическое значение имеет изучение отклонений от средних. При этом интересуют не только крайние отклонения, но и совокупность этих отклонений. Поэтому средние показатели необходимо дополнять показателями, измеряющими отклонения от средних, – показателями вариации признака.

Показатели вариации подразделяются на два вида:

- абсолютные;

- относительные.

Абсолютные и средние показатели вариации признака:

1. Размах вариации (колебаний) – разница между максимальным и минимальным значением признака в совокупности:

. (6.1)

Размах вариации показывает, на какую величину изменяется значение количественно варьирующего признака. Безусловным достоинством данного показателя является простота его расчета. Однако размах вариации дает представление только об амплитуде отклонений крайних значений признака друг от друга и ничего не говорит об отклонении индивидуальных значений признака от среднего значения.

Точнее характеризуют вариацию признака показатели, основанные на учете колеблемости всех значений признака около среднего значения – среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

2. Среднее линейное отклонение – средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариант (x_i, , ) от общей средней ():

– простое, для несгруппированных данных; (6.2)

– взвешенное, для дискретного (6.3)

вариационного ряда;

– взвешенное через середину интервала, (6.4)

для интервального вариационного ряда.

Среднее линейное отклонение показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные значения признака (x_i, , ) от их среднего значения ().

3. Дисперсия признака:

– простая, для несгруппированных данных; (6.5)

– взвешенная, для дискретного ряда; (6.6)

– взвешенное через середину интервала, (6.7)

для интервального ряда.

Важно! Дисперсия – единственный показатель в статистике, единицы измерения которого не указываются в расчетах.

4. Среднее квадратическое отклонение:

. (6.8)

Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и варианты признака. Оно, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от среднего значения ().

Среднее квадратическое отклонение является мерой надёжности средней: чем оно меньше, тем точнее средняя отражает типичное значение признака.

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение применяются для:

- оценки вариации признака;

- измерения тесноты связи между явлениями;

- оценки точности (величины ошибки) выборочного наблюдения и др.

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение являются абсолютными показателями вариации, но они не всегда пригодны для сравнительного анализа вариации признака в нескольких совокупностях или различных признаков в пределах одной совокупности в силу различия абсолютных величин. Для характеристики степени однородности совокупности, сравнительной оценки вариации, устойчивости средней и других статистических оценок применяются относительные показатели вариации, выражаемые в процентах.

Относительные показатели вариации:

5. Коэффициент осцилляции :

. (6.9)

6. Линейный коэффициент вариации :

или . (6.10)

7. Коэффициент вариации :

. (6.11)

Коэффициент вариации применяется для характеристики однородности совокупности: чем меньше коэффициент вариации, тем однороднее совокупность, тем точнее средняя отражает значения варьирующего признака, для которого она вычислена.