4.2.3.6. Задача об оптимальном составе сплава
Для получения сплавов А и В используются четыре металла I, II, III и IV. Характеристики и запасы руд, из которых получают эти металлы, указаны в табл. 4.26.
Требования к содержанию металлов I, II, III и IV в сплавах, а также стоимости одной тонны сплавов при продаже приведены в табл. 4.27.
Необходимо максимизировать прибыль от продажи сплавов А и В.
Таблица 4.26
|
Руда |
Максимальный запас, тонны |
Состав, % |
Цена, доллары за тонну |
||||
|
I |
II |
III |
IV |
Другие компоненты |
|||
|
1 |
1000 |
20 |
10 |
30 |
30 |
10 |
30 |
|
2 |
2000 |
10 |
20 |
30 |
30 |
10 |
40 |
|
3 |
3000 |
5 |
5 |
70 |
20 |
0 |
50 |
Таблица 4.27
|
Сплав |
Требование к содержанию металла |
Цена одной тонны сплава, в долларах |
|
А |
Не более 80% металла I |
200 |
|
Не более 30% металла II |
|
|
|
В |
От 40% до 60% металла II |
210 |
|
Не менее 30% металла II |
|
|
|
Не более 70% металла IV |
|
Решение включает этапы, описанные в пп. 4.2.3.2.
1) Построение математической модели
1. Определение целевой функции
Обозначим количество металлов I, II, III и IV, использованных для получения сплава А, переменными Х1А, Х2А, Х3А, Х4А. Количество металлов I, II, III и IV, использованных для получения сплава В, обозначим переменными Х1В, Х2В, Х3В, Х4В.
Для обозначения количества используемой руды введем переменные Y1, Y2, Y3.
Объем производимого сплава А (в тоннах) равен
Х1А+Х2А +Х3А +Х4А.
Аналогично объем сплава В равен
Х1В+Х2В+Х3В +Х4В.
Прибыль от продажи сплава А составит
Z1=200(Х1А+Х2А +Х3А +Х4А) , (4.11)
а прибыль от продажи сплава В равна
Z2=210(Х1В+Х2В+Х3В +Х4В). (4.12)
Стоимость руд, использованных при литье металлов, равна
Z3=30Y1+40Y2+50Y3. (4.13)
Тогда целевую функцию – прибыль предприятия – можно записать в виде разности между прибылью от продажи сплавов и затратами на руды
Z=Z1+Z2-Z3. (4.14)
Или, подставляя выражения (4.11), (4.12) и (4.13) получим
Z=200(Х1А+Х2А +Х3А +Х4А)+ 210(Х1В+Х2В+Х3В +Х4В)-30Y1-40Y2-50Y3. (4.15)
2) Определение ограничений на переменные
Можно выделить четыре вида ограничений:
а) По физическому смыслу переменных – объемы используемых металлов и руд не могут быть отрицательными, следовательно
(4.16)
б) Ограничения на состав сплавов. Согласно табл.4.27, получаем
(4.17)
в) Ограничения на состав металлов согласно табл. 4.26:
(4.18)
г) ограничения по запасам руды:
(4.19)
Итак, для решения задачи нужно найти такие значения расходуемых объемов металлов Х1А, Х2А, Х3А, Х4А, Х1В, Х2В, Х3В, Х4В и руд Y1, Y2, Y3, которые обеспечат максимальное значение целевой функции (4.15) при выполнении ограничений (4.16) – (4.19).
2) Построение начального плана решения
1. Отведем под переменные Х1А, Х2А , Х3А , Х4А диапазон ячеек В4:В7 электронной таблицы (в табл. 4.28 ЭТ приведена в режиме показа вычислений, в табл. 4.29 – в режиме показа формул).
2. Для хранения переменных Х1В, Х2В, Х3В, Х4В отведем диапазон ячеек С4:С7 электронной таблицы.
3. В ячейках Е5:Е7 разместим значения переменных Y1, Y2, Y3. Для всех переменных начальные значения полагаем равными нулю.
4. В диапазоне ячеек F5:F7 вводим значения имеющихся запасов руды из второго столбца табл. 4.26.
5. В диапазон ячеек G5:G7 вводим цены за одну тонну руды из последнего столбца табл. 4.26.
Таблица 4.28
|
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
|
|
1 |
Оптимальный состав сплава |
|||||||||||
|
2 |
|
Сплав |
|
|||||||||
|
3 |
Металл |
А |
В |
Руда |
Состав металлов |
|||||||
|
4 |
1 |
0 |
0 |
Номер |
Затраты |
Запас |
Цена |
I |
II |
III |
IY |
|
|
5 |
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1000 |
30 |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,3 |
|
|
6 |
3 |
0 |
0 |
2 |
0 |
2000 |
40 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,3 |
|
|
7 |
4 |
0 |
0 |
3 |
0 |
3000 |
50 |
0,05 |
0,1 |
0,7 |
0,2 |
|
|
8 |
Ограничения |
|||||||||||
|
9 |
Левая часть |
Правая часть |
||||||||||
|
10 |
0 |
0 |
||||||||||
|
11 |
0 |
0 |
||||||||||
|
12 |
0 |
0 |
||||||||||
|
13 |
0 |
0 |
||||||||||
|
14 |
0 |
0 |
||||||||||
|
15 |
0 |
0 |
||||||||||
|
16 |
0 |
0 |
||||||||||
|
17 |
0 |
0 |
||||||||||
|
18 |
0 |
0 |
||||||||||
|
19 |
0 |
0 |
||||||||||
|
20 |
Целевая функция |
|||||||||||
|
21 |
0 |
|||||||||||
6. В диапазон ячеек Н5:К7 помещаем характеристики состава руд из столбцов 3 – 6 табл. 4.26.
7. В ячейки диапазона А10:А15 вводим левые части ограничений (4.17).
8. В ячейки диапазона Е10:Е15 вводим правые части ограничений (4.17).
9. В ячейки диапазона А16:А19 вводим левые части ограничений (4.18).
10. В ячейки диапазона Е16:Е19 вводим правые части ограничений (4.18).
11.В ячейке А21 размещаем целевую функцию (4.15).
При работе с программой Calc функцию СУММ заменяем на SUM, а функцию СУММПРОИЗВ – на функцию SUMPRODUCT.
3) Оптимизация плана решения
1. Вызываем режим Поиск решения (Сервис – Поиск решения).
2. Заполняем окно Поиск решения согласно рис. 4.8.
3. Командой Выполнить запускаем режим Поиск решения.
Результат его работы представлен в табл. 4.30.
Таблица 4.29
|
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
|
1 |
Оптимальный состав сплава |
||||||||||
|
2 |
|
Сплав |
|
||||||||
|
3 |
Металл |
А |
В |
Руда |
Состав металлов |
||||||
|
4 |
1 |
0 |
0 |
Номер |
Затраты |
Запас |
Цена |
I |
II |
III |
IY |
|
5 |
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1000 |
30 |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,3 |
|
6 |
3 |
0 |
0 |
2 |
0 |
2000 |
40 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,3 |
|
7 |
4 |
0 |
0 |
3 |
0 |
3000 |
50 |
0,05 |
0,05 |
0,7 |
0,2 |
|
8 |
Ограничения |
||||||||||
|
9 |
Левая часть |
Правая часть |
|||||||||
|
10 |
=В4 |
=0,8*СУММ(В4:В7) |
|||||||||
|
11 |
=В5 |
=0,3*СУММ(В4:В7) |
|||||||||
|
12 |
=С5 |
=0,6*СУММ(С4:С7) |
|||||||||
|
13 |
=С5 |
=0,4*СУММ(С4:С7) |
|||||||||
|
14 |
=С6 |
=0,3*СУММ(С4:С7) |
|||||||||
|
15 |
=С7 |
=0,7*СУММ(С4:С7) |
|||||||||
|
16 |
=СУММ(B4:C4) |
=СУММПРОИЗВ(E5:E7;H5:H7) |
|||||||||
|
17 |
=СУММ(B5:C5) |
=СУММПРОИЗВ(E5:E7;I5:I7) |
|||||||||
|
18 |
=СУММ(B6:C6) |
=СУММПРОИЗВ(E5:E7;J5:J7) |
|||||||||
|
19 |
=СУММ(B7:C7) |
=СУММПРОИЗВ(E5:E7;K5:K7) |
|||||||||
|
20 |
Целевая функция |
||||||||||
|
21 |
=200*СУММ(B4:B7)+210*СУММ(C4:C7)-СУММПРОИЗВ(E5:E7;G5:G7) |
||||||||||
Рис.
4.8
Таблица 4.30
|
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
|
1 |
Оптимальный состав сплава |
||||||||||
|
2 |
|
Сплав |
|
||||||||
|
3 |
Металл |
А |
В |
Руда |
Состав металлов |
||||||
|
4 |
1 |
62,5 |
488 |
Номер |
Затраты |
Запас |
Цена |
I |
II |
III |
IY |
|
5 |
2 |
0 |
650 |
1 |
1000 |
1000 |
30 |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,3 |
|
6 |
3 |
2512,5 |
488 |
2 |
2000 |
2000 |
40 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,3 |
|
7 |
4 |
1500 |
0 |
3 |
3000 |
3000 |
50 |
0,05 |
0,1 |
0,7 |
0,2 |
|
8 |
Ограничения |
||||||||||
|
9 |
Левая часть |
Правая часть |
|||||||||
|
10 |
62,5 |
3260 |
|||||||||
|
11 |
0 |
1222,5 |
|||||||||
|
12 |
650 |
975 |
|||||||||
|
13 |
650 |
650 |
|||||||||
|
14 |
487,5 |
487,5 |
|||||||||
|
15 |
0 |
1137,5 |
|||||||||
|
16 |
550 |
550 |
|||||||||
|
17 |
650 |
650 |
|||||||||
|
18 |
3000 |
3000 |
|||||||||
|
19 |
1500 |
1500 |
|||||||||
|
20 |
Целевая функция |
||||||||||
|
21 |
896250 |
||||||||||