§ 3. Противники (г. Гельмгольц, л. Кронекер, к. Гаусс, о. Коши)

Канторовская критика в последней цитате предыдущего параграфа направлена против господствовавшей в научной среде 70–80-х годов психологической теориичисел. Главным ее представителем был Г.Л. Гельмгольц (1821–1894), известный и влиятельный немецкий ученый, оставивший заметный след в физике, химии, физиологии и психологии своего времени. Гельмгольц защищал тезис об эмпирическом происхождении научного знания. Таков был его взгляд на аксиомы геометрии, таков же и на природу чисел. «Я рассматриваю арифметику или учение об отвлеченных числах, какоснованную на чисто психологических фактахметоду, которая учит последовательному употреблению системы знаков (именно чисел), обладающей безграничною распространенностью и безграничной способностью к улучшению[выделено полужирным мной.—В.К.]»¹. Натуральный ряд чисел основывался здесь на понимаемом чисто психологически факте счета: «Счетесть операция, основывающаяся на том, что мы находимся в состоянии удерживать в памяти последовательность, в которой являлись во времени один за другим акты нашего сознания. Мы можем поэтому рассматривать числа как ряд произвольно избранных знаков, для которых только один определенный вид последовательности считается нами естественным или “натуральным”»². Исходя из этого определялись операции над целыми числами, доказывались их традиционные свойства, объяснялась их применимость в геометрии и физике. Такой подход не допускал, конечно, строгой теории иррационального числа, поэтому последние, как реально существующие необходимые символы несоизмеримых соотношений, могли быть представлены только рациональными приближениями: «Иррациональные отношения могут встречаться в вещественных объектах, в числах они не могут никогда быть точно представлены; зато их численное значение может быть включено в произвольно тесные границы»³. В этой теории, основывающей свое понятие числа на психологическом феномене счета, не может, конечно, быть места для актуальной бесконечности. В целом эти взгляды Гельмгольца были выражением господствующего во второй половине XIX в. эмпирико-позитивистского взгляда на науку⁴.

За Гельмгольцем следует и влиятельный математик своего времени, профессор Берлинского университета Л. Кронекер (1823–1891). Он также исходит при построении математики из феномена счета: «Естественный исходный пункт для развития понятия о числе находится, по моему мнению, в порядковых числах. В них обладаем мы запасом известных, в твердой последовательности находящихся обозначений, которые мы можем приписывать группе различных “различаемых нами предметов”»¹. Но Кронекер опирается не столько на психологическую теорию числа, сколько на опыт математики и математического естествознания. В математике он, как и многие великие ученые, считает центральной дисциплиной арифметику. Арифметика, согласно Кронекеру, играет по отношению ко всей математике ту же роль, что и сама математика по отношению к геометрии и прикладным областям—механике, физике и т.д. ПодарифметикойКронекер понимает, собственно, теорию чисел в широком смысле слова: «При этом слово «ариф­ме­ти­ка» должно пониматься не в обыкновенном ограниченном смысле, но должно включать все математические дисциплины, за исключением геометрии и механики. И я верю, что когда-нибудь удастся «арифметизировать» все содержание этих математических дисциплин, т.е. основать их единственно и исключительно на понятии о числе, взятом в самом тесном смысле [т.е.натуральном числе.—В.К.], отбросив те изменения и распространения этого понятия, которые вводились преимущественно ради приложений к геометрии и механике². Принципиальное различие между геометриею и механикою, с одной стороны, и прочими математическими дисциплинами, составляющими «арифметику», с другой, состоит, по мнению Гаусса, в том, что предмет последних, число, есть продукт только нашего ума, между тем как пространство и время имеют и вне нашего духа реальность, которой мы не можемa prioriпредписывать законы»¹. Будучи сторонником радикальной арифметизации, т.е. прежде всего сведения всех конструкций математического анализа к целым числам, Кронекер отказывался принимать иррациональные числа как легальные математические понятия. Соображения непрерывности или, что еще хуже, философские спекуляции, связанные с понятием бесконечности, были несовместимы с его пониманием научной строгости. Даже говоря об использовании бесконечных рядов в анализе, Кронекер считал, что это допустимо лишь в случае наличия точной арифметической формулы общего члена. По существу это значило для него, что мы имеем дело с финитным объектом...²

Кронекер был противником построений в анализе и теории функций с использованием актуальной бесконечности, которые предпринимались в 70–80-х годах как его коллегами, так и учениками. Среди первых можно назвать К. Вейерштрасса, среди вторых —Р. Дедекинда, Г. Гейне, Г. Шварца и, наконец, Г. Кантора. Последнему Кронекер даже помогал поначалу в его работе по теории чисел, однако впоследствии, убедившись в ложном, по его мнению, направлении, избранном молодым ученым, сознательно тормозил публикации по теоретико-множественным проблемам и старался всячески дискредитировать это направление. Нет, однако, смысла представлять Кронекера этаким «коварным злодеем», «затирающим молодых» и «тормозящим прогресс науки»³. Его спор со сторонниками бесконечности был довольно принципиальным и не обусловленным какими-то конкретными корыстными личными побуждениями. В 1884 г. в ответе на письмо Кантора, искавшего почву для примирения с влиятельным профессором, Кронекер довольно прямо, но достаточно доброжелательно объяснял свою позицию. Вначале письма Кронекер отводил предположения Кантора, что какая-то личная нерасположенность к нему¹могла бы быть основой отношения к его работам. Расхождения научные, особенно касающиеся идеалов научного знания, слишком серьезная тема, чтобы сводить ее на чисто обывательское личное соперничество. Кронекер вспоминает понравившееся ему уподобление этих расхождений различию в религиозных взглядах, сделанное С. Ко­ва­лев­ской. И как в случае разных религиозных верований, так и в случае различных взглядов на науку должно не смешивать их с проблемами личных отношений. Чему примером служат, по словам Кронекера, его долголетние добрые отношения с Вейерштрассом, да и с самим Кантором. Что же касается собственно науки, то здесь у Кронекера была собственная позиция. За ней стоял определенный—отрицательный!—философский опыт: «Вы знаете, что я очень рано под руководством К.²углубился в изучение философии, после чего, как и он, признал сомнительность всех этих спекуляций и спасся в надежной гавани действительной математики. Что же может быть естественней, что я в этой самой математике старался утвердить ее проявления или ее истины по возможности свободными от всех философских построений»³. Далее Кронекер повторяет главную идею своего видения математики: «По этой причине я придерживаюсь того мнения, что вчистойматематике все должно быть приведено к учению о целых числах, и я верю, что это всегда будет удаваться. Однако это есть лишь моявера. Но где это уже удалось, я вижу там истинный прогресс, хотя—или, скорее, потому что—это есть отход к более простому, и еще более потому, что это доказывает, что построение новых понятий по меньшей мерененеобходимо»¹. В самой же математике это приводит к выдвижению вполне определенного лозунга: «Ис­тин­ную научную ценность в области математики я признаю только за конкретными математическими истинами, или, выражаясь острее, «толь­ко за математическими формулами». Только они суть непроходящее, как показывает история математики»². История математикиXXстолетия показала также, что эти взгляды Кронекера были не просто «ретроградной позицией» ученого, обусловленной его неудачами в области философии, а вполне имеющей право на существование точкой зрения на математику, которую разделяли многие крупные ученые. Сегодня Кронекер считается одним из предшественников интуиционистского направления в математике³.

Мы уделили так много места взглядам Кронекера потому, что он был отнюдь не одинок в своих взглядах на математику. Прежде всего на его стороне был «король математиков» — великий К.Ф. Га­усс (1777–1855). Именно от него унаследовал Кронекер взгляд на центральную роль теории чисел в математике. «Ма­те­ма­ти­ка есть царица наук, — писал Гаусс, — и арифметика — царица математики. Последняя часто нисходит до оказания услуг астрономии и другим естественным наукам, но ей всегда и везде принадлежит первое место»⁴. Гаусс был также против использования актуальной бесконечности в математике. В 1831 г. в письме Шумахеру, который использовал в своем доказательстве окружность бесконечного радиуса, Гаусс писал: «Что касается Вашего доказательства для 1), то я прежде всего протестую против употребления бесконечной величины как чего-то завершенного, что в математике никогда недопустимо. Бесконечность не нужно понимать буквально, когда речь идет собственно о пределе, к которому сколь угодно близко приближаются определенные отношения, когда другие принимаются безгранично возрастающими»⁵. Другими словами, Гаусс допускает только потенциальную бесконечность в математике.

Сознательным противником использования актуальной бесконечности в науке был выдающийся французский математик О. Л. Коши (1789–1837). Ортодоксальный католик, Коши считал, что атрибут бесконечности может быть отнесен только к Богу. Все творение конечно, как в направлении возрастания, так и в смысле делимости. Классическим здесь был, в частности, вопрос о мировом пространстве. Коши не был согласен с интерпретациями пространства, идущими еще от ньютоновских представлений о пространстве как «чувствилище Бога». Так, в своих «Семи лекциях общей физики», прочитанных в 1833 г., Коши пишет: «Дейст­ви­тель­но беспредельность всегда будет одной из принадлежностей самого Творца, а не творения его. Но мы бы заблуждались, если бы вздумали представить себе под одинаковыми точками зрения обширность материи и беспредельность Божию, если бы полагали возможным рассматривать их как однородные символы. Потому что божественная принадлежность должна быть неделима, как и сам Бог, и даже смешно предполагать, что беспредельность Божия может быть разделена на много частей, которые бы составляли размеры тел и принадлежности созданных предметов»⁶. Понимание пространства у Коши ориентировано на классическое, идущее от Аристотеля представление: пространство неотделимо от тел. «Итак, мы не можем предположить существования пространства без пределов, пространства, которое бы существовало само по себе, независимо от тел, и которое, будучи по природе своей подобно тем, которые занимают тела, было бы, однако, бесконечно, как Бог, и даже делимо до бесконечности. Конечные пространства, которые одни только могут быть осуществлены, суть принадлежности тел, и эти принадлежности точно так же, как и сами тела, не могут быть доведены до бесконечности. Пространство, занятое вселенной, есть и всегда останется конечным, хотя бы даже Бог по своему всемогуществу неопределенно увеличивал бы это пространство, раздвигая его границы новыми творениями»¹. В частности, бесконечно малая математическая точка есть только абстракция: «Ма­тематическая точка, не имеющая протяжения, осуществляется созданием одного атома. Расстояние, или пространство, ограниченное только одним измерением, есть только отношение между двумя математическими точками. Следовательно, расстояние есть принадлежность системы двух одновременно существующих атомов»².

Существование актуально бесконечного множества самопротиворечиво, настаивает Коши и приводит в доказательство парадокс, известный еще Галилею. Если предположить актуально существующим весь натуральный ряд чисел

1, 2, 3, 4, ...,

то квадраты этих чисел 1, 4, 9, 16, ... также будут принадлежать этому ряду и будут составлять лишь часть его. Причем если оценить распределение этих квадратов, то получится:

на 10 первых чисел  —3 квадрата

на 100 —«——10 квадратов

на 1000 —«——31 квадрат

и т.д. То есть доля квадратов, приходящихся на какой-то начальный отрезок натурального ряда, будет все время убывать:

;;; ...

и стремиться к 0. Что, по Коши, противоречит тому, что квадратов столько же, сколько и самих чисел ¹.

В «Семи лекциях общей физики» Коши приводит также созвучное его взглядам рассуждение католического богослова второй половины XVIII в. аббата (впоследствии кардинала) Жердиля. Последний принимал как очевидное утверждение о том, что вечность и изменения несовместимы. Отсюда следовало, что вечен только Бог, а Вселенная (и земля, в частности) была когда-то сотворена. Но отрицание вечности Земли «доказывалось» Жердилем и с помощью математики. Если бы Земля существовала вечно, то она сделала бы к настоящему моменту актуально бесконечное количество оборотов вокруг Солнца, что, в силу противоречивости понятия актуально бесконечного ряда чисел, невозможно. «Итак, один Бог бесконечен, — заключает Коши, — кроме Него, все конечно. Духовные существа и существа телесные находятся в конечном числе, и мир имеет свои пределы в пространстве и во времени. Бесконечность, вечность суть божественные принадлежности, присущие только Творцу, и сам Бог не может их сообщить своим творениям, не потому чтобы его могущество было каким-либо образом ограничено, но потому, что тогда будет противоречие в самих словах (про­ти­во­ре­чие логическое), если понятие бесконечности будет придано тому, что имеет способность изменяться»². В мире возможна и действительна, по Коши, только потенциальная бесконечность.