§ 3. Три аспекта актуально бесконечного в истории мысли

В связи с вышеизложенным вполне понятна необходимость той классификации употребления понятия актуальной бесконечности, которую Кантор предлагает в письме к Энестрему, уже однажды цитированному нами. Актуальную бесконечность, замечает Кантор, можно рассматривать в трех главных отношениях:

в Боге, и в этом случае Кантор называет ее абсолютным;

in concreto, т.е. в природе, и в этом случае она называетсятрансфинитным, и

in abstracto, то есть в человеческом познании, в форметрансфинитных чиселили более общихтрансфинитных порядковых типов.

В зависимости от принятия или отвержения возможности существования в каждом из этих трех отношений, всего получается 8 возможностей, которые на удивление, как подчеркивает Кантор, почти все реализовались в истории мысли. Оставляя в стороне первое, чисто богословское измерение, мы имеем для вторых двух следующую таблицу возможностей:

	in concreto	in abstracto
I	-	-
II	Å	-
III	-	Å
IV	Å	Å

В качестве сторонников первой точки зрения, которые отвергают существование актуальной бесконечности как в природе, так и в человеческом мышлении, Кантор называет католических богословов Жердиля и Муаньо, Коши, который ссылается на Жердиля, Гаусса, а также «все так называемые позитивистыи их родня»¹. Мы уже говорили о возражениях против бесконечности Гаусса и Коши, Жердиля. Взгляды Муаньо мы обсудим позднее.

Среди тех, кто поддерживает существование актуальной бесконечности в природе, но отрицает ее in abstracto, Кантор называет, в частности, Декарта, Спинозу, Лейбница, Локка. Зачисление всех этих философов в одну группу достаточно спорно. Про Декарта вряд ли можно сказать, что он признавал существование актуальной бесконечности в природе. В этом вопросе Декарт проявлял достойную удивления сдержанность и скорее склонялся оставить вопрос открытым, чем делать окончательные заключения. В «Первоначалах философии», например, он пишет: «А поскольку нельзя вообразить себе такое число звезд, чтобы думать, что Бог не может создать еще большее, мы будем предполагать их число также неопределенно большим; то же самое относится и ко всему остальному[выделено мной.—В. К.]»². Включение во второй раздел Спинозы, вообще говоря, справедливо. Пантеизм Спинозы наделяет и природу божественными атрибутами, а согласно Теореме 8 из «Этики»: «Всякая субстанция необходимо бесконечна»³. С другой стороны, однако, именно пантеизм Спинозы и является определенным препятствием для подтверждения точки зрения Кантора. Создатель теории множеств не хочет говорить обабсолютном, т.е. об актуально бесконечном в Боге. Он хочет остаться на почве науки, т.е. говорить в пределах математики и естествознания. Но, ведь, говоря о бесконечности природы у Спинозы, мы говорим, одновременно, и о божественной бесконечности... Это сопряжение метафизических взглядов Кантора с пантеизмом всплывет потом в переписке с кардиналом Францелином (см. гл. IV, § 6). Впрочем, Кантор и сам несколько ниже в том же разбираемом нами письме к Энестрему обращает внимание на это двусмысленное и недопустимое употребление понятия бесконечности у Спинозы: «Часто происходит смешениедругогорода, а именно двух формактуально бесконечного,причем смешиваетсятрансфинитноесабсолютным. Между тем эти понятия явно различны в том отношении, что первое следует мыслить, конечно, бесконечным, но все же доступным дальнейшему увеличению, тогда как последнее приходится считатьнедоступным увеличению, а потому математически неопределимым. С этой ошибкой мы встречаемся, например, в случаепантеизма, и она образуетахиллесову пяту Этики Спинозы...»¹.

Актуальная бесконечность in concretoу Лейбница—это та бесконечная актуальная делимость мира, обусловленная его монадической структурностью, о которой мы говорили выше². Далее Кантор называет Дж. Локка. Трудно согласиться, однако, что Локк признает возможность бесконечности в природе. Все идеи у английского философа происходят из ощущения и рефлексии. Но ни первое, ни второе не дает интуиции актуально бесконечного. Всякая идея бесконечно растущего или бесконечно делимого (т.е. только потенциальная бесконечность) сводится в конце концов к идее числового ряда. «...Но действительно положительной идеи бесконечного числа нет. Кажется очевидно, что сложение конечных вещей (а таковы все величины, положительные идеи которых есть у нас) никогда не порождает идеи бесконечного иначе, нежели это делает число; а последнее, состоящее из прибавлений друг к другу конечных единиц, вызывает идею бесконечного только благодаря тому, что мы способны постоянно увеличивать сумму и делать такие же прибавления, ни на йоту не приближаясь к концу этого процесса»¹. И в пространстве, и во времени,—во всем Локк признает только потенциальную бесконечность: «Ибо только то бесконечно, что не имеет пределов, и только та идея есть идея бесконечности, в которой наши мысли не могут найти таковых»².

Полезно также здесь отметить и мнение Кантора по поводу использования понятия бесконечного у Канта в «Критике чистого разума» (Антиномии чистого разума). Для той техники и той системы дистинкций в отношении актуальной бесконечности, которая была развита Кантором, кантовское использование понятия бесконечности достаточно вульгарно. «При случае я покажу, — пишет Кантор, — что лишь благодаря смутному неотчетливому употреблению понятия бесконечности (если еще можно говорить о понятиях при подобных обстоятельствах) этому автору удалось вызвать серьезное отношение к его антиномиям и к тому же только у тех лиц, которые, подобно ему, предпочитают уклоняться от основательного математического рассмотрения подобных вопросов»³. Нам неизвестны тексты, где Кантор специально анализировал бы кантовские антиномии, но понять смысл его замечания можно. Так, например, в доказательстве тезиса «Первого противоречия трансцендентальных идей» Кант пишет: «В самом деле, допустим, что мир не имеет начала во времени, тогда до всякого данного момента времени протекла вечность и, стало быть, прошел бесконечный ряд следующих друг за другом состояний вещей в мире. Но бесконечность ряда именно в том и состоит, что он никогда не может быть закончен путем последовательного синтеза. Стало быть, бесконечный прошедший мировой ряд невозможен; значит, начало мира есть необходимое условие его существования, что и требовалось доказать... [выделено мной. — В. К.]»¹. Кантор мог бы критиковать это рассуждение следующим образом. «Бесконечность» ряда означает лишь бесконечную мощность множества (состояний вещей). Но это множество может быть по-разному упорядочено. Так, бесконечный ряд натуральных чисел можно упорядочить и обычным образом:

1, 2, 3, ... , n...,

и «наоборот»:

..., n, ... 3, 2, 1.

А можно еще и так:

2, 3, 4, ..., n, ... 1.

В первом случае бесконечный ряд «не закончен», т.е. не имеет последнего элемента. Во втором же и в третьем этот ряд имеет последние элементы (в каждом случае это 1). Поэтому рассуждение Канта существенно опирается на молчаливую предпосылку, что бесконечный ряд состояний вещей может быть упорядочен только единственным образом. Кантор же, введя вместе с понятием мощности понятие порядкового типа, или ординального числа, стал рассматривать все возможные упорядочения. Кантор упрекает Канта также и за то, что он рассматривал абсолютное как предел конечного. Согласно же теории множеств последний предел есть лишьтрансфинитное, причем наименьшее из всех (канторовское «w»). Кантор резко отрицательно относился к этим рассуждениям Канта: «Вряд ли когда-либо—не исключая пирроновский и академический скепсис, с которым у Канта столь много общего,—что-нибудь так способствовало дискредитации человеческого разума, как этот раздел "критической трансцендентальной философии"»¹.

Третью точку зрения —принятие актуальной бесконечности in abstracto, но отрицание ее существования в природе—разделяет, по Кантору, некоторая часть неосхоластов². Сторонников четвертой точки зрения—т.е. принятия актуальной бесконечности и как существующей в природе, и как легального инструмента человеческого познания—немного: «Этой точки зрения, которую я считаю единственно правильной, придерживаются лишь немногие. Быть может, я по времени первый, защищающий ее с полной определенностью со всеми ее следствиями, но одно я знаю твердо: я не буду последним ее защитником!»³ Созданная Кантором теория множеств породила столь глубокие парадоксы и ввергла математику XX в. в столь глубокое перманентное кризисное состояние, что приходится констатировать: Кантор, скорее всего, ошибся в последнем тезисе; он, вероятно, был последним, кто защищал эту точку зрения «с полной определенностью» и «со всеми ее следствиями»...