- •0 Введение
- •Глава I Модусы бесконечного § 1. Актуальная и потенциальная бесконечности
- •§ 2. Элементарные понятия «наивной» теории множеств
- •§ 3. Канторовская критика Аристотеля. Ориген и Фома Аквинат
- •§ 4. Бесконечное у Лейбница. Кантор против постулата о конечности человеческого рассудка
- •§ 5. «Парадоксы бесконечного» б. Больцано
- •Глава II Трансфинитные числа § 1. Трансфинитные числа — новые иррациональности
- •§ 2. Платоновские мотивы у Кантора
- •§ 3. Противники (г. Гельмгольц, л. Кронекер, к. Гаусс, о. Коши)
- •§ 4. Канторовская критика аргументов противников
- •§ 5. Актуальная бесконечность как «объемлющее»
- •§ 6. Границы канторовского платонизма
- •Глава III Философия математики у Кантора: между «Свободой математики» и «Hypotheses non fingo» § 1. «Сущность математики заключается в ее свободе»
- •§ 2. Иерархия типов познания (письмо к т. Эшеру)
- •§ 3. Три аспекта актуально бесконечного в истории мысли
- •Глава IV Математика и религия § 1. Трансфинитные числа в Боге
- •§ 2. Теория множеств как откровение
- •§ 3. Канторовские проекты приложения теории множеств в естествознании
- •§ 4. Теория множеств и теология (Августин, а. Арно, б. Паскаль, аббат Муаньо)
- •§ 5. К. Гутберлет о бесконечном
- •§ 6. Переписка с кардиналом Францелином
- •Глава V Классические проблемы теории множеств § 1. Проблема континуума и континуум-гипотеза
- •§ 2. Аксиома выбора
- •§ 3. Парадоксы. Шкала мощностей как «лестница на Небо»
- •Глава VI Личностные особенности и религиозные взгляды Кантора § 1. Происхождение, личностные особенности, болезнь
- •§ 2. Теология Кантора
- •Глава VII Границы науки § 1. Разноликий рационализм
- •§ 2. Бесконечное в философии математики и. Канта
- •§ 3. Границы математического метода мышления по о. Беккеру
- •§ 4. А. Пуанкаре о работе математика
- •§ 5. Концепция «целостного разума» в русской религиозной философии
- •Вместо послесловия Особая роль метафизики
- •Указатель имен
- •Содержание
Глава V Классические проблемы теории множеств § 1. Проблема континуума и континуум-гипотеза
Дискуссии вокруг оснований теории множеств естественно подводили к вопросу о научной легальности не только самой этой теории, но и шире —о границах научного, и математического в частности, познания вообще. Наиболее острые споры были связаны с обсуждением основных проблем теории множеств: континуум-гипотезы, проблемы обоснования аксиомы выбора, попыток преодоления так называемых парадоксов теории множеств. Здесь мы конкретно можем увидеть, насколько трудны и порой непроходимы оказались те «дороги свободы», которые предложила математике теория множеств Кантора. Рассмотрим эти вопросы ближе.
Проблема континуума задала одно из центральных направлений развития теории множеств, а континуум-гипотеза стала одной из наиболее привлекающих внимание математиков XX столетия задач. В списке важнейших математических проблем, представленных Д. Гильбертом в 1900 г. на II Международном конгрессе математиков в Париже, континуум-гипотеза стояла первой. Континуум-гипотеза непосредственно связана с фундаментальной двойственностью самих оснований математической науки. Основными объектами математики являются число (натуральное) и пространство, и все содержательные результаты этой науки суть то или иное «соединение» одного начала с другим. Откуда возникает естественное стремление попытаться объединить число и пространство, дискретность и непрерывность в чем-то третьем, найти какой-то общий род, отдельными видами которого являлись бы эти два начала. «Преодоление пропасти между областьюдискретного и областью непрерывного, или между арифметикой и геометрией, есть одна из главных—пожалуй, дажесамаяглавная—проблем оснований математики»,—пишут А. Френкель и И. Бар-Хиллел1. Ближайшим образом эта задача выступала (исторически) как проблема арифметизации геометрии. Решение ее оказалось отнюдь не из легких. Уже античная математика обнаруживает здесь серьезные препятствия. Существуют несоизмеримые отрезки, и поэтому длины некоторых отрезков невозможно выразить через целое число длин единичного отрезка или его частей. Античная математика, чтобы обойти эти трудности, находит здесь удивительно изящные приемы: общую теорию отношений и метод исчерпывания. Но существенно, что эти новые приемы используют уже актуальную бесконечность.
Следующий этап в решении проблемы арифметизации геометрии связан с изобретением в XVII в. аналитической геометрии. Последняя выдвинула новый взгляд на геометрию. Вместо античного понимания этой науки, где созерцаниеиграло принципиально неустранимую роль, Декарт предлагает некоеисчислениеотрезков, которое должно было, в принципе, решить все возможные геометрические задачи2. Но тем самым задачаарифметизациигеометрического пространства, сведения его к чисто числовой конструкции вставала еще острее. Возникающее также в XVII столетии дифференциальное и интегральное исчисление рассматривали геометрические конструкции в «бесконечно малом»3и делали проблему арифметизации пространства еще более актуальной. Однако проблема эта не поддавалась решению почти три века. И только во второй половине XIX в. появляются арифметические теории действительных чисел (Вейерштрасс, Дедекинд), позволяющие каждой точке пространства поставить в соответствие число. Они также существенно используют актуальную бесконечность. Кантор, последовательно и настойчиво проводя программу сведения всей математики к теоретико-множественным конструкциям, завершает всю эту линию развития, обнаруживая вместе с тем и непреодолимые апории, к которым она приводит. Хотя, конечно, следует отметить, что создатель теории множеств характерно отклонился от того направления, в котором традиционно стремились решить проблему преодоления противоположности между числом и пространством. Кантор ищет не «арифметизации геометрии», а более радикального сведения этих противоположностей к единой под-лежащей сущности. «Кантор желает—как он сам мне говорил на съезде естествоиспытателей в Касселе, — писал Ф. Клейн, — достигнуть "истинного слияния арифметики и геометрии" в учении о множествах, другими словами, он желает представить учение о целых числах, с одной стороны, и теорию различных образов, с другой стороны, а также еще многое другое как равноправные и объединенные главы общего учения о множествах или совокупностях»1.
В вопросе о континууме Кантор был убежденным противником понимания его как некой данности, как некой априорной формы мышления (идеи ли или в кантовском смысле, как априорной формы созерцания, —безразлично). Кантору нужна была конструкция континуума; только она могла бы, с одной стороны, удовлетворить насущные нужды развивающейся математики, а с другой—вписаться в ту общефилософскую перспективу, в которой осознавал науку Кантор:понять — значит сконструировать.Поэтому создателя теории множеств не удовлетворяют концепции континуума у Аристотеля и Фомы Аквинского: обе они исходили из некой предзаданности идеи континуума, некоего неразложимого созерцания. «Всякая арифметическая попытка определения этойтайны рассматривается как незаконное посягательство и с соответствующей энергией отвергается. Робкие натуры испытывают при этом впечатление, как если бы в вопросе о континууме речь шла не о математико-логическом понятии, а о каком-то религиозном догмате»1. Кантор не был робкой натурой и вопреки тысячелетней традиции старался дать конструктивную модель континуума. Конечно, его не могла также удовлетворить и атомистическая модель, восходящая еще к Эпикуру и Лукрецию.
Вопрос, согласно Кантору, мог ставиться только в терминах теории множеств: если в арифметическом пространстве nизмерений задано некоторое множество Р, то при каком условии его можно назвать континуумом? Кантора вдохновляли на этом пути некоторые полученные им результаты по разложению точечных множеств. Во-первых, это была теорема о равномощности всехn-мерных пространств. Значит, как бы2все проблемыn-мерных множеств сводились к проблемам точечных множеств на прямой. Во-вторых, Кантор нашел некоторые множества, названные им совершенными, которые, казалось, выделяли существеннейшие свойства континуума. Примером канторовского совершенного множества может быть следующая конструкция:
Рис. 4
Из сегмента [0; 1] на прямой мы выбрасываем среднюю треть: интервал (; ). Потом из оставшихся сегментов [0; ] и [; 1] мы также выбрасываем средние трети: интервалы (; ) и (;). Далее из оставшихся сегментов мы опять выбрасываем средние трети и продолжаем этот процесс до бесконечности. То, что остается в результате 1, называется канторовским совершенным множеством. Непосредственно видно, что множество получается очень «разреженным», на первый взгляд кажется даже, что в нем вообще ничего не остается. Но в то же время очевидно, что точки 0, , , , , , например, войдут в предельное множество. Более того, оказывается, это предельное множество будет несчетным, и его мощность будет равна мощности континуума, т.е. мощности точек на исходном сегменте [0; 1]. Канторовское совершенное множество обладает, кроме того, еще тем замечательным свойством, что каждая его точка является так называемой точкой конденсации. Это означает, что в любой окрестности этой точки содержится бесконечное несчетное множество других точек этого же совершенного множества. Это свойство, по Кантору, должно было как бы представить теоретико-множественную модель «плотности» континуума.
Для полного же описания свойств континуума важно еще одно свойство: связность. Множество Т связно, по Кантору, если любые две его точки можно соединить ломаной с вершинами, также принадлежащими этому множеству, и с длинами звеньев меньше любого наперед заданного e. «По моему мнению,—пишет Кантор,—эти два предиката—"совершенный" и "связный"—представляют собой необходимые и достаточные признаки континуума, и поэтому я определяю точечный континуум в Gn [ в арифметическомn-мерном пространстве.—В.К.] каксовершенное связное множество. Здесь "совершенный" и "связный"—не просто слова, а вполне общие предикатыконтинуума, понятийно охарактеризованные самым строгим образом при помощи предыдущих определений»1. Канторовские построения в теории точечных множеств оказали существенное влияние и на другие разделы математики, в частности топологию. Однако должно прямо признать, что:
1) канторовское определение континуума есть только некоторая частная модель континуума;
2) говоря о необходимых и достаточных признаках континуума, Кантор, вопреки своему желанию, признает, что имеет в виду некоторуюинтуицию континуума, вопрос о философском смысле которой остается открытым;
3) открытым, следовательно, остается и вопрос о соответствииинтуиции континуума его конкретным моделям, в частности канторовской.
В этой же работе 1883 г. «Основы общего учения о многообразиях», из которой мы только что цитировали, Кантор объявляет, что надеется вскоре доказать, что мощность множества точек континуума в точности равна мощности так называемого второго числового класса. Это утверждение и называется континуум-гипотезой.По-другому это записывают обычно следующим образом:
2a0=a1.
Слева здесь стоит мощность стандартной числовой модели континуума, а a1представляет собой первое кардинальное число, следующее заa0 — мощностью счетного множества.
Канторовские надежды на быстрое доказательство этого результата оказались несостоятельными. Более того, переписка Кантора показывает, какие титанические усилия прилагал он для решения проблемы и какие сокрушительные разочарования, взлеты и падения пришлось ему здесь пережить, переходя —временами лишь в течение одного месяца—от полной уверенности в доказанности результата к обнаружению ошибки в доказательстве и потом—к такой же полной уверенности в ложности континуум-гипотезы... Некоторые биографы считают, в частности, что именно перенапряжения и неудачи с доказательством континуум-гипотезы послужили причиной возникновения тяжелой психической болезни Кантора.
Как показала история, трудности с континуум-гипотезой имели достаточно объективную природу. В 1908 г. Э. Цермело сумел сформулировать аксиоматику теории множеств, что позволило начать исследования оснований теории множеств с помощью параллельно развивающихся методов математической логики. В 1931 г. К. Гедель доказал свою знаменитую теорему о неполноте, которая утверждала, что в любой достаточно богатой логической системе, содержащей, как минимум, элементарную арифметику, существуют утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть с помощью методов этой же системы. Возникло подозрение, что канторовская континуум-гипотеза является как раз подобным утверждением. В 1963 г. П. Коэн доказал этот результат: было показано, что континуум-гипотеза независима от системы аксиом теории множеств Цермело—Френкеля. Другими словами, континуум-гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута в теории, опирающейся на эту систему аксиом. Коэн вообще склонялся к тому, что континуум-гипотеза, скорее всего, не верна. Дело в том, что a1, мощность второго числового класса, представляет собой множество всех упорядочений счетного множества. Они получаются с помощью достаточно элементарных операций над ординальными числами применением так называемых первого и второго принципов порождения чисел (прибавления единицы и взятия пределов фундаментальных последовательностей). С другой стороны, мощность континуума 2a0 есть мощность достаточно богатого множества функций на a0. Коэн пишет: «Таким образом, С 1 больше, чем an, aw, aa, где a = aw, и т.д. С этой точки зрения С рассматривается как невероятно большое множество, которое дано нам какой-то смелой новой аксиомой и к которому нельзя приблизиться путем какого бы то ни было постепенного процесса построения. Быть может, следующие поколения научатся яснее видеть эту проблему и выражаться о ней более красноречиво»2. Читая эти строки, невозможно не вспомнить о предшествовавших поколениях. Эта несводимость континуума к некоторой постепенной конструктивной процедуре, о которой говорит Коэн, как бы воскрешает античное и средневековое представление о континууме как неразложимой исходной данности, как о естественном пределе человеческой аналитической способности. Несмотря на дерзкое предприятие множества «неробких натур» — и прежде всего самого создателя теории множеств Кантора — представить континуум как некоторую аналитическую конструкцию, после целого века дискуссий наука как бы возвращается к исходной, впрочем, подтвержденной тысячелетним опытом размышлений, точке зрения. Наука как бы делает круг, еще раз подтверждая, что познание — это прерогатива не только науки, но и мудрости.