§ 2. Платоновские мотивы у Кантора

Любопытны разъяснения, которые Кантор давал относительно своих бесконечных чисел (точнее, кардиналов). «Каждое множество четко отличающихся друг от друга вещей можно рассматривать как некую единую вещь саму по себе,в которой рассматриваемые вещи являются составными частями или конститутивными элементами. Если абстрагироваться как от свойств элементов, так и от порядка их заданий, то получаетсякардинальное число, или мощностьмножества,—общее понятие, элементы в котором в виде так называемых единицсрастаютсяизвестным образом в такоеорганическое единое целое, что ни один из них не имеет привилегированного положения в отношении других»¹ [выделено полужирным мной.—В.К.]. Здесь характерно этоакцентированиеорганического единствановых чисел,сращениясоставляющих его единиц. Число берется не как механический агрегат составляющих его единиц, а как некая целостность, тяготеющая к типу живого организма. Эти особенности суть характерные моменты платоновского понимания идеи вообще и числа в частности. Сам Кантор в своих работах 80-х годов не слишком адекватно называл свою позицию «умеренным аристотелевским реализмом», но, что любопытно, противопоставлял ее номиналистическому подходу к понятию числа у своих противников, критиков трансфинитных чисел. Об этой полемике мы будем подробнее говорить ниже. Сейчас нам важнее осознать этот характерный платоновский пафос канторовских построений.

Здесь очень поучительно письмо, написанное Кантором фран­цуз­скому математику Ш. Эрмиту в середине 90-х годов. Эрмит, обсуждая с Кантором природу чисел, писал в предыдущем письме: «Чис­ла (целые) представляются мне как бы образующими некоторый мир реальностей, существующих вне нас с тем же характером абсолютной необходимости, как и реалии природы, знание которых дается нам нашими чувствами и т.д.»². Отвечая, Кантор подчеркивает, что для него числа обладают гораздо большей онтологической реальностью: «Позвольте мне к этому заметить, что для меня реальность и абсолютная закономерность целых чисел кажетсяболее сильной, чем реальность чувственного мира. И что дело обстоит именно таким образом, имеет единственное и очень простое основание, а именно то, что целые числа и отдельно, и в своей актуально бесконечной целостности, как и вечные идеи, существуют в высшей степени реальностиin intellectu Divino»¹. Эта убежденность Кантора в «сверхпсихологической» реальности чисел—существенный момент, всегда направлявший его математические исследования. В дискуссиях, которые он вел с коллегами математиками, философами и богословами о природе трансфинитов, его позиция была неизменной. В обсуждаемом нами письме к Эрмиту Кантор отмечает, что эта его точка зрения на число определилась уже давно. Еще в 1869 г. в конкурсной работе на замещение должности профессора в Галле один из публично защищаемых Кантором тезисов звучал так:Numeros integros simili modo atque corporà coelestia totum quoddam legibus et relationibus compositum efficere ².Позже, отмечает Кантор здесь же, он заметил существенную близость своей точки зрения с позицией, высказанной св. Августином в книге «О Граде Божием»³.

Если для Эрмита постановка чисел в один ряд с чувственной реальностью дает первым больший онтологический статус, так как чувственная реальность для него является как бы образцом реальности, то для Кантора дело обстоит иначе. Реальность чувственного мира для него —отнюдь не высшая возможная степень реальности. Реальность божественных идей, по которым и сотворен, собственно, мир, выше. И числа, как конечные, так и трансфинитные, обладают именно этой реальностью, более высокой, чем реальность чувственных вещей.

Вряд ли можно назвать эту позицию «умеренным аристотелевским реализмом», как это делает сам Кантор. Мы склонны здесь согласиться больше с формулировкой Дж. Даубена, который в своей монографии, посвященной Кантору, определяет его позицию как «сильная форма платонизма»¹.

В приведенной цитате —необходимо это подчеркнуть—для нас впервые выступаетрелигиозное измерениеканторовской мысли. В силу особенностей самой личности создателя теории множеств, его мировоззрения религиозная тема была тесно связана с его научным творчеством вообще и с теорией множеств в особенности. Но в этой связи сказывались и объективные основания, засвидетельствованные историей науки и культуры. Актуально бесконечное постоянно выступает в истории в богословских построениях. Все данное в мире чувственном—конечно, и только философская спекуляция ставит вопрос о возможности бесконечного. Бог же по самой своей идее, во всяком случае в мировых религиях, актуально бесконечен. Древнегреческая философская и научная мысль осознала идею потенциальной бесконечности и сознательно отвернулась от актуальной. Лишь в рамках христианской культуры идея актуальной бесконечности как одного из атрибутов Бога становится постепенно привычной. Спекулятивное богословие, хотя и не создало теории бесконечных чисел, но все более и более настойчиво вводило понятие актуальной бесконечности в научный оборот, вырабатывало важные определения и дистинкции. Кантор сам нередко подчеркивал, сколь многим он обязан был католическому богословию (мы поговорим об этом подробнее ниже). Игнорировать эти факты—значит не понимать больших исторических культурных и научных традиций, связанных с возникновением теории множеств, не понимать всей глубины и культурной значимости самой научной теории².

Но вернемся к канторовскому платонизму. Свое видение числа как некоего целостного органического комплекса, как идеиКантор обнаруживает постоянно. Так, говоря о понятии числа у Евклида, он прежде всего подчеркивает, что для автора «Начал» число есть нечто целостное, связанное с множеством, а не с процессом его субъективного пересчета. Имеются в виду следующие определения Евклида: «Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым», и «число же—множество, составленное из единиц»¹. «Но далее мне кажется,—пишет Кантор,—что он[Ев­клид.—В.К.]ошибочно рассматриваетединицы в числе столь же раздельными, как и элементы в том дискретном множестве, к которому оно относится. В евклидовом определении по крайней мере не хватает прямого указания наединый характерчисла, между тем как это безусловно существенно для него»². Единицы в числе соотносятся, по Кантору, отнюдь не так же безразлично, как элементы какого-нибудь произвольного множества между собой. Последнее может быть совсем не связано с какими-то реальными (фи­зи­чес­ки­ми) соотношениями элементов множества между собой, множество может существовать только в сознании созерцающего. Но не так обстоит дело с множеством единиц, объединенных в понятии числа этого множества. Они уже должны быть органически сращены вединство числа. Число выступает здесь как некаяформа, но не в смысле субъективного единства пересчета, а в смысле объективно существующегоидеального единства. То же относится и к канторовским порядковым числам (или порядковым типам). «Если нам дано множество М, то его элементы следует представлять себе раздельными. В его же умственном образе..., который я называю его порядковым типом, эти единицы, напротив, соединены в один организм. Всякий порядковый тип можно в известном смысле рассматривать как композицию изматериииформы: содержащиеся в нем понятийно различимые единицы образуютматерию, тогда как существующий между ними порядок соответствуетформе»¹.

Любопытно, что, говоря о конечных кардинальных числах, т.е. о мощностях конечных множеств, Кантор настойчиво подчеркивает их раздельное, независимое одно от другого существование. Это делается для того, чтобы утвердить принципиальный для Кантора подход к числу: числа возникают не из счета, когда каждое занимает определенное место в ряду обозначений натуральных чисел ², а из абстракций конечных множеств, в которых игнорируется порядок. Для Кантора настолько важно это автономное, не связанное ни с какой психологической процедурой существование каждого числа, что он даже настаивает, что обычный порядок натуральных чисел есть, вообще говоря,произвольный порядок«и при многообразии отношений чисел друг к другу представляет собой лишь одно из бесчисленно многих возможных закономерных соединений и расположений всех кардинальных чисел»³. Это многообразие отношений чисел друг к другу есть некоторое «виртуальное» множество соотношений. Канторовские рассуждения здесь, рассматривающие каждое число как автономную «органическую» реальность, имеют определенно платоновский характер. «Для образования общего понятия «пять» необходимо лишь одно множество (например, множество всех пальцев моей правой руки), которому соответствует это кардинальное число. Акт абстракции, производимый по отношению к тем свойствам и порядку, в каких оказываются передо мной эти четко отличающиеся друг от друга вещи, вызывают или, скорее, пробуждают в моем уме понятие «пять». Это следовательно пять в себе и для себя, независимо от «че­ты­рех», «трех» или какого-либо другого числа. Каждое число есть, по своему существу,простое понятие, в котором некоторое многообразие единиц собрано органически едино,специальным образом, так что в нем различные единицы—равно как и получающиеся из их частичного собирания числа—являютсявиртуальнымисоставными частями. То обстоятельство, что по данному в п. 5 определению суммы имеет место равенство

5 = 2+ 3,

не должно побуждать нас к допущению, будто в понятии5содержатсякакреальные частипонятия2и 3. Если бы это было так, то никогда не могло бы иметь места равенства5 = 1 + 4. Но 1,2,3,4 определенно можно назватьвиртуальными составными частямиу 5, если под этим понимать просто то, что в каждомконкретноммножестве М с кардинальным числом5содержатся подмножества М¢, которым соответствуют кардинальные числа 1,2,3 и 4»¹. Хотя Кантор не решается прямо поддержать платоновскую онтологию чисел и под виртуальными составными частями хочет понимать «просто то» (wenn hierunter nichts anderes verstanden wird ²), что написано в последней фразе цитаты, тем не менее дальше мы опять читаем о «закономерных отношениях, которые в своем многообразном и сложном переплетениисвязывают царство конечных кардинальных чисел в одно идеальное, органическое целое [!! — выделено полужирным мной.—В. К.]»³. При всех оговорках, постоянное тяготение создателя теории множеств к платоновской онтологии—кульминирующее, конечно, в настойчивом утверждении того, что числа существуютin intellecto Divino,—оспаривать было бы трудно.

Эта же платонизирующая тенденция сказывается у Кантора и при критике использования времени в понятии числа. «Сло­же­ние единиц никогда не может служить для определения числа, так как здесь указание главного факта, а именно как частодолжны складываться единицы, не может быть получено без самого определяемого числа. Это доказывает, чточисло, получаемое единым актом абстракции, должно задаваться как органическое единство единиц. Отсюда, далее, следует, насколько глубоко ошибочно желание сделать понятие числа зависящим от понятия времени или от так называемого созерцания времени. В новой философии это часто про­ис­хо­дило после начинания Канта. Сэр Уильям Роуэн Гамильтон, например, определял арифметику как «The science of pure time»¹, и это делали многие другие авторы.С тем же правомони могли бы рассматривать ивсякую другую науку, например геометрию, как«the science of pure time», ибо при образовании геометрических или прочих понятий мысубъективноприбегаем ко «времени» как к форме существования повседневной жизни не меньше, чем при овладении арифметическими понятиями»²[вы­де­ле­но полужирным мной.—В.К.].